\def\del{\partial} \def\im{\mathrm{im}}
Elimizde
0 \to C_n \xrightarrow{\del_n} C_{n-1} \to \ldots \to C_1 \xrightarrow{\del_1} C_0 \xrightarrow{\del_0} 0
seklinde bir zincir kompleksi var: \del_{r} \circ \del_{r+1} = 0. Soruda verilmemis, tanimlari yazalim:
Z_r = \ker (\del_r) \quad ,\quad B_r = \im(\del_{r+1})
\del_{r} \circ \del_{r+1} = 0 oldugu icin B_{r+1} \subseteq Z_r olur. Bu durumda r'inci homoloji grubu
H_r = Z_r / B_{r+1}
olarak tanimlanir (\mathbb{R} katsayilari ile calistigimizdan buradaki her sey ayni zamanda bir \mathbb{R}-vektoruzayi). Simdi notta verilenleri yapalim:
b_r = \dim H_r= \dim Z_r - \dim B_{r+1}
ve
I_r = \dim C_r = \dim Z_r + \dim B_r
Bu iki esitlik de lineer cebirden geliyor. Ilki bolum uzayinin boyutu, ikincisi ise meshur "rank-nullity" teoremi.
Simdi,
\chi(K) = \sum_{r = 0}^n (-1)^r I_r
\quad \quad = (\dim B_0 + \dim Z_0) - (\dim B_1 + \dim Z_1) + \ldots + (-1)^n(\dim B_n + \dim Z_n)
\quad \quad = \dim B_0 + (\dim Z_0 - \dim B_1) - (\dim Z_1 - \dim B_2) +\ldots +(-1)^{n-1} (Z_{n-1} - B_n) + (-1)^n \dim Z_n
Burada tek yaptigim, toplama isleminde parantezleri kaydirmak oldu. Ama bu ufak numara cok ise yaradi. Cunku, ortadaki terimlerin ne oldugunu biliyorum:
\quad \quad = \dim B_0 + \dim H_0 - \dim H_1 + \ldots + (-1)^{n-1}H_{n-1} + (-1)^n \dim Z_n
istedigimiz seye cok yakiniz artik. Gozlemlememiz gereken iki sey var:
- B_ 0 = \im (\del_0 : C_0 \to 0 ) = 0
-
B_{n+1} =\im(\del_{n+1}:0 \to C_n) = 0
O halde bu uzaylarin boyutlari da sifir! Dolayisiyla yukaridaki toplamda \dim B_0 terimini yazmama gerek yok ve eger istersem (-1)^n \dim B_{n+1} terimini ekleyebilirim. Bu da kaniti bitirir:
\chi(K) = \sum_{r = 0}^n \dim C_r = \sum_{r=0}^n \dim H_r