Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
612 kez görüntülendi

$t$ bir cift sayi olsun ve $k_1, k_2, \cdots,k_t$ de tek sayilar. 

$1=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\cdots+\frac{1}{k_t}$

olarak yazabilir miyiz?

Ek olarak: Eger $t$ tek olsaydi: $3,5,7,9,11,15,35,45,231$ dizisi bunu sagliyor.

Serbest kategorisinde (25.3k puan) tarafından  | 612 kez görüntülendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Hayır. Eğer böyle $k_1,...,k_t $ sayıları olsaydı

$k_1k_2...k_t=s_1+s_2+...+s_t$ olurdu. Burada $s_i$ sayısı $t_i$ hariç diğer $t_j$ lerin çarpımıdır. O halde eşitliğin sol tarafı bir tek sayı sağ tarafı ise $2m+1+...+1$ şeklindedir. Burada $t$ tane $1$ olacağından sağ taraf çift olur. Bu ise olanaksızdır.


(541 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
1 beğenilme 0 beğenilmeme

a) t çift  ve $k_1,k_2,k_3,...,k_t$ tek sayılar olsun .Eğer $k_1=k_2=...=k_t$  o zaman $1=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}+...+\frac1{k_t} = \frac{t}{k_1} =\frac1{k_1}$, ve $ t=1$ olmak zorundadır. Yani en iki $k$ değeri bir birinden farklıdır.

 Şimdi  $t$ çift bir doğal sayı ve $k_1,k_2,k_3,...,k_t$ sayılarıda birbirinden farklı tek sayılar iken varsayalım ki 

$1 = \frac1{k_1}+\frac1{k_2}+...+\frac1{k_t}$ eşitliği doğru olsun. Bu eşitliğin sağında payda eşitlemesi yapıldığında, her bir kesrin payı; tek sayıda tek sayının çarpımı yani tek sayı olacaktır.  Ortak payda ise tek sayıların çarpımı, yani tek sayı olacaktır. Çift sayıda kesir olduğundan, pay çift bir sayı olur. Pay paydaya tam olarak bölünmez. Bu sebeple sonuç bir olamaz. 

(19.2k puan) tarafından 

Özü itibariyle UnluYusuf Hoca'nın çözümünün aynısı.

20,200 soru
21,726 cevap
73,275 yorum
1,887,779 kullanıcı