tetrahedron

Question

Heron formülüne göre, bir üçgenin alanı, üç kenar uzunluklarıyla belirlenir.

Peki tetrahedronun hacmi dört yüzünün alanıyla mı belirlenir?

Comments

Soruda sorulan, üçgen için $u=\frac{1}{2}(a+b+c)$ iken $A=\sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)}$ eşitliği varsa, tetrahedron için $v=k(A+B+C+D), k \in R$ iken, $V=\sqrt{v(v-A)(v-B)(v-C)}$ türünden bir ifade bulunabilir mi?

Answer 1

Tetrahedron için Heron formülü gibi bir formül varmış. Eşitlik aşağıda:!!

Bunlar yerine,

• Analitik olarak köşe noktaları, $(x_i,y_i,z_i), i=1,2,3,4$ olan düzgün tetrahedron için, $V=\frac 1 {3!}  \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\  x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{vmatrix}$
• Çokyüzlü kenar vektörleri $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ olmak üzere, $V=\frac 1 {3!} |\vec{a}\cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$
• $|BC|=a, |CA|=b, |AB|=c, |DA|=a', |DB|=b',|DC|=c'$ olmak üzere kenar uzunluklarına sahip olarak, $R$ iç teğet çemberin çapı olarak ve $\Delta$ kenarları $aa', bb', cc'$ uzunluğuna sahip üçgenin alanı olmak üzere, $6RV=\Delta$
• Köşeleri $A_1,A_2,A_3,A_4$ olan bir tetrahedronun üçgenleri sırasıyla, $T_1=\Delta A_2A_3A_4, T_2=\Delta A_1A_3A_4, T_3=\Delta A_1A_2A_4, T_4=\Delta A_1A_2A_3$ ve sırasıyla bu üçgenlerin alanları $s_1,s_2,s_3,s_4$ ve $T_i, T_j$ üçgenleri arasındaki düzlemsel açı $i \neq j=1,2,3,4$ olmak üzere $\theta _{i,j}$ ise, $s_k^2=\sum_{j \neq k, 1\leq j \leq 4}{s_j^2}-2\sum_{i,j \neq k, 1\leq i,j \leq 4}{s_is_j\cos \theta_{ij}}$ ve $i \neq j =1,2,3,4$ ve $l_{ij}$, $T_i$ ve $T_j$ üçgenlerinin ortak kenar uzunluğunu belirtmek üzere $V=\frac 2 {l_{ij}}s_is_j \sin \theta_{ij}$

eşitlikleri kullanılabilir.

Comments

İkinci formüle  "!" yukarı kaçmış sanırım.

Bir de İngilizce wikipedia da bayağı karmaşık bir Heron tipi hacim formülü verilmiş (Türkçesinde yok)

https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron

---

 Uyarı için teşekkür ederim, @Dogandonmez. $\frac 1 {3!}$ düzeltilmiştir.

Aşağıdaki eşitliği bulamamıştım (Wolfram'da):