cebir

Question

G bir grup ve a eleman G olsun.Bu durumda <a> ={ a uzeri k ; k eleman Z } dir. Teoreminin ispati nedir ?

Comments

Lufen soruyla yakindan ilgili bir baslik seciniz.

Answer 1

$<a>=\{a^{k_1}a^{k_2}...a^{k_m}\mid k_{i}=\pm 1, i=1,2,...,m, m=1,2,...\}$

$<a>=\{a^{k_1+k_2+...+k_m}\mid k_{i}=\pm 1, i=1,2,...,m,m=1,2,...\}=\{a^{n}\mid n\in \Bbb{Z}\}$ olarak bulunur.

Answer 2

$<a>$ demek $G$ grubunun $a$'yi iceren en kucuk altgrubu demek. Yani baska bir $H$ alt grubu $a$'yi iceriyorsa  $<a> \subset H$ olmali.

$G$ grubunun $a$ elemanini iceren bir $H$ alt grubu alalim.

1) $a\in H$ ise $n \in \mathbb N$ $a^n \in H$ olur. (Kapali olmasindan)
2) $a^n \in H$ ise $a^{-n} \in H$  olur. (Ters elemanlari icerirmesinden)

Demek ki $\{a^k \: | \: k \in \mathbb Z\}$ kumesi $G$ grubunun $a$'yi iceren her altgrubunun icindeymis?

Peki bu durumda $<a>=\{a^k \: | \: k \in \mathbb Z\}$ diyebilir miyiz? Su an icin hayir. $\{a^k \: | \: k \in \mathbb Z\}$ bir kume fakat $G$'nin bir altgrubu mu, bunu da gostermek lazim.