Question

$\mathbb{C}$'nin $\mathbb{Q}$ üzerine vektör uzayı olarak boyutu nedir?

 

Comments

Lütfen hakkımızda kısmını okuyun, soruları metin olarak yazın.

Answer 1

Boyutun sonlu olamayacağı zaten Sercan tarafından gösterilmiş. Boyutu tam olarak hesaplayalım.

$B \subseteq \mathbb{C}$ kümesi $\mathbb{C}$ için $\mathbb{Q}$ üzerinde bir (Hamel-)tabanı olsun. $B$ sonlu olamayacağı için $|B| \geq \aleph_0$ olduğunu biliyoruz. Bunun sonucunda da $|\mathbb{Q} \times B|=max\{|\mathbb{Q}|,|B|\}=|B|$ olacaktır.

Bu durumda $B$'nin elemanları ile yazılabilen sonlu $\mathbb{Q}$-doğrusal kombinasyonların sayısı ise en fazla $| \bigcup_{n \in \mathbb{N}} (\mathbb{Q} \times B)^n| \leq \aleph_0 \cdot |B|=|B|$ olabilir.

Öte yandan taban olmanın tanımı gereği $\mathbb{C}$'nin her elemanını $B$ kümesinin biricik bir sonlu $\mathbb{Q}$-doğrusal kombinasyonu olarak yazabildiğimize göre $|\mathbb{C}| \leq |B|$. Aynı zamanda $|B| \leq |\mathbb{C}|$ olduğunu da biliyoruz. Demek ki $dim_{\mathbb{Q}}\mathbb{C}=|\mathbb{C}|$.

Comments

<p> cevaplar için çok teşekürler. ALLAH RAZI OLSUN !
</p>

Answer 2

Eger sonlu olsaydi ve $n$ adet baz elemani olsaydi.. $\mathbb{C}$'nin kardinali $\mathbb{Q}$'nun kardinalinin $n$. kuvvetine esit olurdu.. O zaman $\mathbb{C}$'nin de numaralindarilmasi gerekirdi ki degil.

Aslinda bu $\mathbb{R}$ icin de gecerli.. Her $\mathbb{Q}$ uzerinde numaralandirilamayan cisimler icin de..