Question

$p>2$ asal olmak uzere $\big(\frac2p\big)=(-1)^{(p^2-1)/8}$ esitliginin alternatif ispatlari?

Answer 1

Amac: $2^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{(p^2-1)/8} \mod p$ oldugunu gostermek:

Ilk olarak $p=2s+1$ seklinde yazalim. Bu durumda $2^s$ ile ilgilenecegiz. 

Elimizde ($-1 \equiv p-1$, $-3 \equiv p-3$, $\cdots$ oldugunu da kullaniyoruz asagida) $$(-1)^{\frac{s(s+1)}{2}}s! \equiv [(-1)\cdot1]\cdot[(-1)^2\cdot2]\cdot[(-1)^3\cdot3]\cdot[(-1)^4\cdot4] \cdots [(-1)^s\cdot s]$$ $$ \equiv 2\cdot4 \cdots (p-1) =2^s\cdot s! .$$Ayrica $(-1)^{\frac{s(s+1)}{2}} \equiv (-1)^{(p^2-1)/8} \mod p$. ($s=(p-1)/2$ oldugunu hatirlayalim). Bu da bize ispati veriyor.

Comments

$(-1)^{\frac{s(s+1)}{2}}.s!$ yerine $(-1)^{\frac{s(s+1)}{2}}.s$ olması gerekmez mi? Ayrıca $\equiv 2.4...(p-1)=2^s.s!$ eşitliğinin elde edilişini biraz daha açmanız mümkün mü?

---

Ek: Kopyala yapistir yaparken yanmislikla duznelemeyi biir dedim, bi degisiklik yok ispatta. O nedenle degisiklik var mi diye kontrol etmenize gerek yok.

$(-1)^{\frac{s(s+1)}{2}}s!$ kismi ile basliyorum. Bu nedenle $s$ olmasi durumu yok. Bu bir baslangic. Yanindaki esitligin dogruluguna bakalim. $\equiv [(-1)\cdot1]\cdot[(-1)^2\cdot2]\cdot[(-1)^3\cdot3]\cdot[(-1)^4\cdot4] \cdots [(-1)^s\cdot s]$. Burada $-1$ uzerinde $1,2,\cdots,s$ var ve carpan olarak da $1,2,\cdots,s$ var. Yani esitlik dogru. Bundan sonra $2\cdot4 \cdots (p-1) =2^s\cdot s! $ esitligini sormussunuz. Her terimden $2$ carpanini disariya atiyoruz ve $s$ tane terim var, ayrica $(p-1)/2=s$ olmasi bu esitligi verir.