Question

$\begin{align*} & f^{2}\left( x\right) =f\left( 2x\right) +2.f\left( x\right) -2\\ & f\left( 1\right) =3\end{align*}$ olduğuna göre f(6) kaçtır?

Answer 1

Yol: $x=1$ için $f^2(1)=f(2)+2f(1)-2\longrightarrow 9=f(2)+4\longrightarrow f(2)=5$ bulunur. Benzer şekilde $x=2,3$ için de işlemlerle istenen bulunur.

Comments

Hocam görüntüsünü bulduğumuz değerler hep 2'nin kuvvetleri olmaz mı? Durum böyleyken nasıl 3 ün görüntüsünü bulacağız?

---

İkinin kuvvetleri değil katlarını buluyoruz. Neden $f(3)$'ü bulmaya çalışıyorsun ki. İstenene ulaşmak için $f(4),f(6)$ değerlerini bulmalısın.

---

Hocam bu soruda f(1)=3 f(2)=5 f(4)=17 eşitliklerinden f(6) ya geçerken x y değerlerindeki değişimi mi baz aldınız?Yoksa verilen eşitlikten direk f(6) ya ulaşmak  mümkün mü?

Answer 2

Ben bu (veya çok benzer bir) soruya bir yorum yazdığımı hatırlıyorum ama bulamadım.

Düzenlersek $f(2x)-1=(f(x)-1)^2$ şekline gelir. $g(x)=f(x)-1 $ olsun.

$g(2x)=(g(x))^2$ olur. Buradan ($g$ sürekli varsayılırsa) bir $a>0$ sayısı için, $g(x)=a^x$ olur. Gerisi kolay.

Comments

Bu sorudan cok gordum ben de. Bu sonuncu cikarim guzel duruyor hocam, isterseniz soru olarak sorabilir misiniz ispatini.

---

Hocam bu çıkarımı anlayamadım  ispatı için ipucu vermeniz mümkün mü?

---

Aslında o sonuncu çıkarım hatalı (benim hatam). Başka öyle fonksiyonlar da var. Yani soru hatalı.

Answer 3

($f$ için başka bir özellik varsaymadan) sorunun birden çok cevabı var.

Düzeltildi:

$f(x)=2^x+1$ fonksiyonu verilen özdeşliği sağlar ve $f(6)=65$ olur. 

AMA

$f(x)=\begin{cases} 2^x+1,\quad x=2^m\ \textrm{ ise}(m\in\mathbb {Z})\\ 1,\ \quad\quad\quad \textrm{diğer durumlarda}\end{cases}$ olsun. $f$ fonksiyonu da belirtilen özdeşliği sağlar ama $f(6)=1$ dır.

Soruyu soran, bu şekilde birden çok böyle fonksiyonun var olabileceği olasılığını gözden kaçırmış ve 

"$ f(x)=2^x+1$ olur" diye düşünmüş sanırım.

Comments

Hocam, verilen eşitlik, $f(x+y) = f(x).f(y) - [f(x) + f(y)] + 2$  eşitliğinde $y = x$ konulmasıyla elde ediliyormuş.