Question

alt küme sayisi neden 2 uzeri n ? ispatı ?

Comments

Bu soru tekrar:

http://matkafasi.com/23446/elemanli-kumenin-kume-sayisinin-oldugu-nasil-kanitlanabilir?show=23446#q23446

Answer 1

Kumenin bir elemani ya alt kumenin elemanidir ya da degildir. Yani her eleman icin iki olasilik var.

Comments

<p> Tamam 2olasılık var ya alt kümesidir ya degildir.ama bnm sorum alt küME sayıSInı belİrleyEn 2üzeri n nerden gelİyor?
</p>

---

ilk olarak cevap ve yorum kutucuklarina ozen gosterelim. 

Onun cevabini verdim zaten. Bir eleman ya alt kumededir ya degildir. $n$ tane eleman icin $2\times2\times\cdots\times2=2^n$ olasilin var.

Ya da sunu hesapla ayni olay: $A \subset  \{1,2,\cdots,n\}$ olsun ve $f_A:\{1,2,\cdots,n\}\to\{0,1\}$ da $x\in A$ elemanlarini $1$'e $x\not \in A$ elemanlarini $0$'a gotursun.  Bu sekilde kac tane fonksiyon yazilir.


Ya da $(x_1,\cdots,x_n)$ ve $x_i \in \{0,1\}$ olmak uzere kac tane dizi yazilir bu sekilde. 


Bunlarin bir alt kumeye karsilik geldigine kendini ikna etmen zor olmasa gerek. 

---

bu 0 ve 1 olayı daha net açıklıyor  belirli bir sayıda eleman olan kümen olsun bu kümeyi ağaç olarak düşünürsek en tepeye çıkmak için ya sağdan ya soldan çıkıcaz her basamakta tekrar sağ veya sola çıkma olayı var .

Answer 2

$$n \text{ elemanlı bir kümenin } 0 \text{ elemanlı altkümelerinin sayısı } C(n,0)$$

$$n  \text{ elemanlı bir kümenin }  1 \text{ elemanlı altkümelerinin sayısı }  C(n,1)$$

$$n  \text{ elemanlı bir kümenin } 2 \text{ elemanlı altkümelerinin sayısı }  C(n,2)$$

$$\vdots$$

$$n  \text{ elemanlı bir kümenin } n \text{ elemanlı altkümelerinin sayısı }  C(n,n)$$

O halde cevap $$C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+\ldots +C(n,n)$$ olacaktır. Şimdi bu toplamın $$2^n$$ olduğunu gösterelim.

$$(1+x)^n=C(n,0)\cdot x^n+C(n,1)\cdot x^{n-1}+C(n,2)\cdot x^{n-2}+\ldots +C(n,n) $$ olduğunu biliyoruz. $x=1$ için aradığımız eşitlik bulunur.

Comments

çok anlaşılır olmuş kombinasyon ve permutasyonada bayağı aşinayım ama şunu sormam gerek kombinasyon ve permutasyon nasıl yaratıldılar? bunu bulan kişiler direkt olarak kombinasyon budur nin rli kombinasyonu$C(n,r)=$ $\dfrac{n!}{(n-r)!.r!}$ veya permutasyon ıçın direkt $p(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}$ mu dediler bunların bulunuşunun çıkış noktası nedir varmı bir bilginiz.

---

Doğruluğunu bilmiyorum. Formülü kendime kanıksatma şeklimdi :D.

 Örneğin 7 elemanın 4lü permütasyonunu bulacağız. 7 kişiyi 4 sıraya kaç farklı şekilde oturturuz? İlk sıraya 7 kişi oturabilir, 2. sıraya 6 kişi ... Sonuç olarak 7.6.5.4 buluruz 

7! / (7-4)!  =  n! / (n-r)!

 Kombinasyonunu bulmak istiyoruz. 7 kişi içinden herhangi 4 kişi 4 sıraya 4.3.2.1 farklı şekilde oturabilir. Bu 4 kişinin 1 oturuş biçimini bulmak için 7 kişinin  4 sıraya oturuş sayısını 4!'e böleriz. Bu sayı aynı zamanda 7 kişiden 4 kişinin kaç farklı şekilde seçilebileceğini verir.

7! / (7-4)!

yani bu ifadeyi 4! e böleceğiz 

7! / (7-4)!.4!  =  n! / (n-r)!.r!

Bu kadar anlatabildim.