Bir aralığın tam kare içerdiğini göstermek

Question

$p_{i}$ i-ninci asal ve

\[s_{n}=\sum_{i=1}^{n}p_{i}\]

olmak üzere

$[s_{n},s_{n+1}]$ aralığının bir tane tam kare içerdiğini nasıl gösteririz.

Comments

bi uygulamasi var mi bu sorunun? ya da nerden, kimin aklina gelmis.. bazen hayret etmiyor degilim yani, boyle sorulara.

---

Direk motivasyonu ne bilmiyorum doğrusu, Luca ile Koninck'in Analytic Number Theory kitabında rastladım. Yapay bir soruya benzemiyor, sanki başka bir problemin çözüm aşamalarında ortaya çıkmış gibi..

Answer 1

Simdi $x^2$ sayimiz $[s_{n-1},s_{n}]$ araligindaki en buyuk kare olsun. O zaman $(x+1)^2$ bu aralikta degil. Eger $(x+1)^2$ sayimizin $[s_n,s_{n+1}]$ araliginda oldugunu gosterirsek ispatimiz bitmis olur.

Once bir kac islem yapalim: $(x+1)^2-x^2=2x+1$ ve $x^2 \leq s_n$, oyleyse $2x+1 \leq 2\sqrt{s_n}+1$ ve sorumuz artik sunlarla gosterilebilir:

(Amacimiz $(x+1)^2$ sayimizin $[s_n,s_{n+1}]$ araliginda oldugunu gostermek. Eger biz $2x+1 \leq p_{n+1}$ oldugunu gosterirsek isimiz bitecek. Bu nedenle:)

$2\sqrt{s_n}+1 \leq p_{n+1}$ ya da $4(p_1+\cdots p_n) \leq (p_{n+1}-1)^2$ ya da  $4(p_1+\cdots p_n) \leq p_{n}^2$ (burda hatta bunu gostersek anlaminda, yoksa bir onceki bunu gerektirmiyor)

Tumevarimdan son esitsizligi gosterelim: $4(p_1+\cdots+p_n)+4p_{n+1} \leq p_{n+1}^2+4p_{n+1} \leq (p_{n+1}+2)^2 \leq p_{n+2}^2$.

$11$'den sonra bu esitsizlik saglaiyor, o zaman ekstradan $2,3,5,7$ icin kontrol etmek lazim, onlar da saglaniyor.

Comments

 $2x+1 \leq p_{n+1}$ oldugunu gostererek $(x+1)^2$ sayısının $s_{n+1}$ den küçük olduğunu göstermiş oluyorsunuz, peki  $(x+1)^2$ sayısının $s_{n}$ den büyük olduğu bariz mi? 

---

Secerken oyle sectim zaten, $x^2$ en buyugu olacak diye.

---

Anladım, evet haklısın. Güzel çözüm, teşekkürler.

---

cozerken keyif aldigim nadir sorulardan biri, ben tesekkur ederim.