Question

$\int \frac{1}{1+\cos^2x}dx$

Answer 1

Öncelikle $1=\cos^2 x + \sin^2 x$ özdeşliği ile integrali

$$\int \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{2\cos^2 x + \sin^2 x} dx$$

formuna çevirelim. Bir sonraki adım olarak, hem payı, hem de paydayı $\cos^2 x$ ile bölelim. Böylece

$$\int \frac{1 + \tan^2 x}{2 + \tan^2 x} dx$$

elde etmiş oluruz.

Değişken değiştirerek $u=\frac{ \tan x}{\sqrt{2}}$, integrali

$$\int \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{du}{1 + u^2}$$

formuna çevirir, buradan da $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(u) + \mathrm{sabit} =  \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan( \frac{\tan(x) }{\sqrt{2}}) + \mathrm{sabit}$ elde ederiz.

 

Biraz deneyip çözemeyince, Wolfram Alpha'dan kopya çektim:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1%2F%281%2Bcos^2x%29&lk=4

Answer 2

son kısmı aynı kalmakla beraber sorunun başında $cos^2x=\frac{1}{1+tan^2x}$ yazarakta sonuca gidebilirsiniz