Sadeleştirme

Question

$p>0$ için, aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz:

$\frac{1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p}+\cdots}{1-\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}-\frac{1}{4^p}+\cdots}$

Soru iyi okumuyor, o yüzden resim olarak da yükledim.

Answer 1

Diriclet eta fonksiyonu ile Riemann zeta fonksiyonu arasinda

$$\eta(p)=(1-2^{1-p})\zeta(p)$$ iliskisi vardir. Sorulan da $\zeta(p)/\eta(p)$.

Comments

Ne Riemann'ı ne de Dirichet'i tanırım ben. :)

Çözümü akşam paylaşırım.

---

Tamamdir. Okurum ben de. Cozumun buyuk bir olasilik bunun ispati olacak.

---

Cevabınız tam olarak doğru.

$\frac{2^p}{2^p-2}=\frac{1}{1-2^{1-p}}$

Ama çözüm yolu rica ediyorum.

---

Cozum yolu bu esitligin ispati. Onu da paylasirim demissin. 

Answer 2

$\frac{1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p}+\cdots}{1-\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}-\frac{1}{4^p}+\cdots}=\frac{\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}}{\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n^p}} \\ A=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}\\ B=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n^p} \\ A-B=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^n}{n^p}=\frac{2}{2^p}+\frac{2}{4^p}+\frac{2}{6^p}+\frac{2}{8^p}+\cdots= \\ =\frac{2}{2^p}\left (1+ \frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p}+\cdots \right )=\frac{2}{2^p}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}=\frac{2}{2^p}A \\ A\left ( 1-\frac{2}{2^p} \right )=B \\ \frac{A}{B}=\frac{1}{1-\frac{2}{2^p}}=\frac{2^p}{2^p-2}$