Max Min değer

Question

$f(x,y,z)=x-2y+5z$ fonksiyonu $x^2+y^2+z^2=30$ küresi üzerinde tanımlanıyor.Bu fonksiyonun en küçük ve en büyük değeri kaçtır?

Comments

Lagrange carpani kullanilarak cozulebilir. Fakat uzun surer.

---

Hocam Cauchy-Schwarz kullanılabilir mi?

Answer 1

$x$ , $y$ değerlerine $0$ ve $z$ değerine $\pm\sqrt{30}$ diyerek :

Max değeri : $5\sqrt{30}$

Min değeri : $-5\sqrt{30}$

olarak buluruz.

Comments

Maalesef.Bende böyle düşündüm arkadaş ortamında madara ettiler.Max=30 ve Min=-30 cevap.

---

Düşünmüştüm böyle olacağını :)

Çözümü sizde var mı ? Merak ettim şimdi.

---

Maalesef yok.

---

Pek çözüm denemez ama yinede yazayım :

$z=5k$ , $y=-2k$ , $z=k$ dersek burdan $k$ değerini $\pm1$ olarak buluruz.

Fonksiyonun max. ve min. değeride burdan $\pm30$ çıkar.

$x,y,z$ değerlerine neden bu değerleri verdiğimizi açıklamak gerekir.

---

Teşekkürler Bertan hocam.

Answer 2

Genel cozumu Lagrange carpani ile olur. Kisa cozum: $(1,-2,5)$ ve $(x,y,z)$ bu kure uzerinde. Bunlarin nokta carpimini alacagiz. En buyuk degeri elde edebilmek icin aradaki aci sifir olmali. Yani $(x,y,z)=(1,-2,5)$ olmali. (Katsayilar kure uzerinde olmak zorunda degildi elbet, aradigimiz aralarinda sifir derece olan vektordu ki kurede her vektor mevcut). Simetriden dolayi minimun degeri de negatif olani gelir.

---------------------------
Duzenleme: $5$ yerine $3$ yazilmisti.

Comments

Teşekkürler Sercan hocam.

Answer 3

$z=\mp\sqrt{30-x^2-y^2}$ olur. $z=\sqrt{30-x^2-y^2}$ olsun.

$f(x,y)=x-2y+5\sqrt{30-x^2-y^2}$ olur.

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=1-\dfrac{5x}{\sqrt{30-x^2-y^2}}=0\Rightarrow 26x^2+y^2=30$              $(1)$
$\dfrac{\partial f}{\partial y}=-2-\dfrac{5y}{\sqrt{30-x^2-y^2}}=0\Rightarrow 4x^2+29y^2=120$          $(2)$

$(1)$ ve $(2)$ cozulurse

$x=\mp1$ ve $y=\mp2$ elde edilir. $x=\mp1$ ve $y=\mp2$ icin $z=\mp5$ cikar.

Max degeri icin $x=1, y=-2$ ve $z=5$ secilir ve Max degeri olarak $30$ bulunur..

Min degeri icin $x=-1, y=2$ ve $z=-5$ secilir ve Min degeri olarak $-30$ bulunur..

Ikinci turevin isaretine bakilarak da kritik noktalarin lokal max veya lokal min olup olmadigi arastirilabilirdi..
Lagrange carpanlari ile de bulunabilir..

 

__________________________________________________

 

Lagrange Carpani ile cozelim.

 

$\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)$

 

$\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=x-2y+5z-\lambda(x^2+y^2+z^2-30)$

 

$\begin{array}{lr}   \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=1-2\lambda x=0&&&&&(1 )  \\ \\ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=-2-2\lambda y=0 &&&&& (2) \\\\ \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=5-2\lambda z=0&&&&& (3)\\\\  \dfrac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=x^2+y^2+z^2-30=0&&&&& (4) \end{array}$

 

$\begin{array}{lr} (1)  \implies x=\dfrac{1}{2\lambda}&  \\ \\ (2)  \implies y=-\dfrac{1}{\lambda}& \\\\ (3)  \implies z=\dfrac{5}{2\lambda}& \end{array}$

 

$x,y$ ve $z$'leri $(4)$'de yerine koyalim.

 

$\dfrac{1}{4\lambda^2}+\dfrac{1}{\lambda^2}+\dfrac{25}{4\lambda^2}=30\implies \lambda=\mp\dfrac{1}{2}$

 

$\lambda=\dfrac{1}{2}:\quad (x,y,z)=(1,-2,5)$

 

$\lambda=-\dfrac{1}{2}:\quad (x,y,z)=(-1,2,-5)$

 

$f(1,-2,5)=1+2(2)+5(5)=30$ max noktasi.

$f(-1,2,-5)=-1-2(2)+5(-5)=-30$ min noktasi.

 

Comments

Teşekkürler Ökkeş hocam.

Answer 4

C-S-B ile $(x^2+y^2+z^2)(1+4+25)\geq (x-2y+5z)^2$ buradan $|x-2y+5z|\leq 30$  çıkar

Comments

Teşekkürler Yavuz hocam.