Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.6k kez görüntülendi

Bu ilginç eşitliğinin gerçekten sağlandığını nasıl gösterebiliriz?

Akademik Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.6k kez görüntülendi

5 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Rusça bir sitede okuduğum kadarıyla Eulerin probleme yaklaşımı şu şekildeymiş

$x^4+mx^3+nx^2+px+q=0$ polinomunun sıfırdan farklı kökleri  a,b,c,d olsun bu polinomu şöyle yazabiliriz $(a-x)(b-x)(c-x)(d-x)=0$ ve kökleri 0 dan farklı kabul ettiğimiz için bu polinomu $a.b.c.d$ ye bölelersek şu denklemi elde ederiz $$(1-\frac{x}{a})(1-\frac{x}{b})(1-\frac{x}{c})(1-\frac{x}{d})=0$$  şimdide iyi bilinen $$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}$$ serisini , yukarıdaki çıkarımı kullanarak ve sinüs fonksiyonunun köklerinin $0\pm \pi,\pm 2\pi$ olduğunu hatırlayarak  $$\frac{sinx}{x}=(1-\frac{x}{\pi})(1+\frac{x}{\pi}(1-\frac{x}{2\pi})(1+\frac{x}{2\pi})(1-\frac{x}{3\pi})(1+\frac{x}{3\pi})...$$ yazabililriz buda iki kare farkı kullanarak  $$\frac{sinx}{x}=(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^4}{\pi^4})(1-\frac{x^9}{\pi^9})$$ bulunur burdan sonrada soruya şu şekilde yaklaşmış $(a+b)(c+d)(e+f)=ace+acf+ade+adf+bce+bcf+bde+bdf$ olduğunu biliyoruz dikkat ederseniz $ace$ ifadesi her çarpanın ilk terimlerinin çarpılması ile elde ediliyor benzer şekilde $bdf$ son terimlerin çarpımı bu gözleme dayanarak yukarıdaki ifadeyi $(1-\frac{1}{4}-\frac{1}{9}-\frac{1}{16}-...)(\frac{1}{\pi^2})x^2$ ve son olarak $x^2$ katsayısının $-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{6}$ olması gerektiğini düşünerek sonucu bulmuş

(1.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Bence burada dikkat edilmesi gereken hassas bir nokta var.

Soru da sonsuz tane terimin toplamından bahsediyor. Bu ne demek ki? Örneğin son çözümde de ...'lar var. Bunları yaparken biraz daha hassas olmalıyız. Sonsuz tane terimin toplamı için, bir seri toplamı tanımlamalı ve bu toplamı limit kavramıyla yapmalı.

Hocam, çözüm benim değil ben sadece rusçadan çevirdim , çözüm euler'in yaptığı 4 çözümden biri  birebir aynı olmasa bile genel hatları ile böyle bir de o faktöriyel (sayıları çarpım olarak göstermiş) ve pi sembollerini kullanmamış (pi yazmış) cevabı yazarken Eulerin yaklaşımı yazdım bugünün bilgisi ile dünü eleştirmek çok da doğru değil kanımca bir de söz konusu olan Euler! 

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Net anlatmasi mesakatli bunun da: link atayim.

(25.5k puan) tarafından 

$\pm \pi$ koku oldugu icin $x \pm \pi$ onu boler. ya da $1 \pm \frac{x}{\pi}$.. Bu sekilde koklerden gelen lineer faktorlerin carpimi.

sonsuz toplamin, sonsuz carpim hali..

1 beğenilme 0 beğenilmeme

burada da 5 farklı kanıt var  

basel-problem.pdf (0,7 MB)

Your browser does not have a PDF plugin installed.

Download the PDF: basel-problem.pdf

(1.8k puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi

3 ile 4 de ayrı güzelmiş.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Fourier serilerinden

(1.5k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Ali Nesin analiz kitabında "bu eşitlik ilk bulunduğunda yer yerinden oynamıştı" şeklinde bir yorum yapmıştı yanlış hatırlamıyorsam. Kanıtına baktığımda ben de heyecanlanmıştım :)
(152 puan) tarafından 
20,282 soru
21,821 cevap
73,503 yorum
2,522,557 kullanıcı