Baslamadan: $\mathbb{R} \to Q$ fonksiyonunu $a \mapsto (a, 0 ,0 ,0)$ olarak tanimladigimizda, bunun imgesi $Q$'nun merkezinde olan bir halka morfizmasi oldugunu gormek zor degil. Bir baska deyisle, $Q$'yu bir $\mathbb{R}$-cebiri olarak dusunebiliriz.
(1) $Q$ bir halka oldugu icin dagilma ozelligine sahip. Bir $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ dortlusunu de $$(a_1, 0 , 0 ,0) + (0, a_2, 0 , 0) + (0, 0, a_3, 0) + (0, 0, 0, a_4)$$ seklinde yazabilecegimizi goz onunde bulundurursak islemimizin dogal oldugunu kontrol etmek icin $$(0, a_2, 0 ,0)(0, 0, b_3, 0)$$ seklindeki carpmalara (sadece bir girisi sifirdan farkli olan elemanlarin carpimi) bakmak yeterli.
(2) $Q$ ayni zamanda bir $\mathbb{R}$-cebiri oldugu icin, ya da ayni zamanda bir reel vektor uzayi oldugu icin, tek bakmamiz gereken sifir olmayan $a_i$'lerin ve $b_j$'lerin $1$ oldugu durum. Ornegin, $$(1, 0, 0, 0) (0,0,1,0) = (0, 0, 1, 0)$$ ya da $$(0, 1, 0, 0)(0, 1 ,0 ,0 )= (-1, 0, 0, 0)$$ya da $$(0,1,0,0)(0,0,1,0) = (0,0,0,1)$$
(3) Bunu elimizle denemeye kalktigimizda $4 \times 4$'luk bir carpim tablosu geliyor, ve 16 tane $(0,1,0,0)$'e benzeyen terim. Bunun yerine soyle yapalim:
En bastaki halka morfizmasi birebir bir homomorfizma, imgesini de $(a, 0 , 0, 0)$ seklindeki elemanlar olusturuyor. Yani, $a \leftrightarrow (a, 0 , 0, 0)$ seklinde bir esleme yapmamizda bir sikinti yok. Hatta, bu eslemeyi boyle degil de $1 \leftrightarrow (1, 0 , 0, 0)$ olarak yazalim. Diger vektorlerimize de $i, j ,k$ isimlerini verelim: $$1 \leftrightarrow (1, 0 ,0, 0) \\ i \leftrightarrow (0,1 ,0, 0) \\ j \leftrightarrow (0, 0, 1, 0) \\ k \leftrightarrow (0, 0, 0, 1)$$ Su halde, artik $(a, b, c, d)$ dortlusunu $a.1 + bi + cj +dk$ ile eslestirmis olduk. Yukaridaki $4 \times 4$'luk carpim tablosu da artik okumasi kolay bir tablo oldu: $$1.1 = 1 \qquad 1.i = i \qquad 1.j = j \qquad 1.k=k \\ i.1 = i \qquad i.i = -1 \qquad i.j = k \qquad i.k = -j \\ j.1 = j \qquad j.i = - k \qquad j.j = -1 \qquad j.k = i \\ k.1 = k \qquad k.i = j \qquad k.j = -i \qquad k.k = -1 $$
(4) Bu carpma dogal mi? Lisede sayisal secmis arkadaslar fizik sinavlarinda garip garip el hareketleri yaparken biz disaridan bakip guluyorduk. Sag el kurali diyorlardi. Ayni duzlemdeki iki vektoru "carptigimizda" yukari dogru gosteriyordu ($ij = k$) ama ayni seyi sol elle yapmaya kalksak asagi gosteriyordu ($ji = -k$). Yukaridaki paragraftan hareketle, reel kismi sifir olan iki Burada caktirmadan $i, j $ ve $k$'yi $\mathbb{R}^3$'te dusunduk.
Yukaridaki paragraftan hareketle, reel kismi sifir olan iki kuaterniyon alalim: $q_1 = a_1 i + b_1 j + c_1 k$ ve $q_2 = a_2 i + b_2 j + c_2 k$. Ve bu iki kuaterniyonu carpalim:
$$q_1 q_2 = -a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 + (b_1 c_2 - c_1 b_2) i + (c_1a_2 - a_1 c_2)j + (a_1 b_2 - b_1 a_2)k$$
Ote yandan, bu iki kuaterniyonun da reel kisimlari sifir oldugu icin ilk koordinati tamamen yoksayip bunlari $\mathbb{R}^3$'te $v_1 = (a_1, b_1, c_1)$ ve $v_2 = (a_2, b_2, c_2)$ seklinde dusunebilirim. Elimde iki vektor varsa bunlarin ic carpimina (dot product) ve capraz carpimina (cross product) bakabilirim. Biraz cabayla, ic carpimin $q_1q_2$'nin reel kisminin negatifine, ve capraz carpimin da reel olmayan kisma esit oldugunu gorebiliriz.
Bence bu, bize oldukca bir dogal carpim oldugunu soyluyor.