$L(X)$ icin verilen $\delta_x$ fonksiyonlarindan olusan bazin othonormal bir baz olusturdugunu gosterin.

Question

Dogal olarak bir iccarpim gerekli. $f,g\in L(X)$ ise $$<f,g>:=\sum_{x\in X}f(x)\overline{g(x)}$$

Answer 1

$x,y \in X$ olsun ve $ x\ne y$ olsun. Bu durumda $$<\delta_x,\delta_y>=\sum\limits_{a \in X} \delta_x(a)\delta_y(a)$$ olur. $\delta_x(a)$ sadece $a=x$ iken ve $\delta_y(a)$ da sadece $y=a$ iken $1$ degerini alir, diger durumlar icin $0$ degerini alir. Demek ki $x\ne y$ icin $<\delta_x, \delta_y>=0$ ve $x=y$ icin de $<\delta_x, \delta_y>=1$. Bu da bize bu bazin bu ic carpim icin orhonormal oldugunu soyler.