$Li_2(x)+Li_2(-x)=\frac{1}{2}Li_2(x^2)$ eşitliğini ispatlayın

Question

$Li_s(x)$ polylogaritma fonksiyonu olmak üzere :

$$Li_2(x)+Li_2(-x)=\frac{1}{2}Li_2(x^2)$$

Eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

$Li_2(x)$ ifadesini integral ile yazalım.

$$Li_2(x)=-\int_0^1\:\frac{\ln(1-xt)}{t}\:dt$$

$$Li_2(x)+Li_2(-x)=-\int_0^1\:\frac{\ln(1-xt)}{t}\:dt-\int_0^1\:\frac{\ln(1+xt)}{t}\:dt$$

Sadeleştirelim.

$$Li_2(x)+Li_2(-x)=-\int_0^1\:\frac{\ln(1-xt)+\ln(1+xt)}{t}\:dt$$

$$Li_2(x)+Li_2(-x)=-\int_0^1\:\frac{\ln(1-x^2t^2)}{t}\:dt$$

$u=t^2$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$$Li_2(x)+Li_2(-x)=-\frac{1}{2}\int_0^1\:\frac{\ln(1-x^2u)}{u}\:du$$

İntegrali polylogaritma ile yazabiliriz.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{Li_2(x)+Li_2(-x)=\frac{1}{2}Li_2(x^2)}}$$