İntegralimiz :
∫∞1√lnx1+x2dx
ω=√lnx olacak şekilde değişken değiştirelim.
2∫∞0ω2eω2+e−ω2dω
1eω2+e−ω2 ifadesine seri açılımı yapalım.
2∫∞0ω2∞∑n=0(−1)ne−(2n+1)ω2dω
Seri düzgün yakınsak olduğundan toplam sembolü ile integralin yerini değiştirebiliriz.
2∞∑n=0(−1)n∫∞0ω2e−(2n+1)ω2dω
η=(2n+1)ω2 olacak şekilde tekrar değişken değiştirelim.
∞∑n=0(−1)n(2n+1)∫∞0ηe−ηdη
İntegrali gama fonksiyonu ile , seriyi de dirichlet beta fonksiyonu ile yazabiliriz.
β(1)Γ(2)
β(1)=π4 ve Γ(2)=1 eşitliklerini kullanalım.
∫∞1√lnx1+x2dx=π4