Pozitif özeşlenik uzantı nasıl bulunur?

Question

Teorem: $\mathcal{H}$ bir Hilbert uzayı, $Y$ onun yoğun (yani $\overline{Y}=\mathcal{H}$) bir altkümesi ve  $T:Y\rightarrow\mathcal{H}$ pozitif ve simetrik bir işlemci olsun. O zaman $T$'nin bir pozitif özeşlenik uzantısı $\widehat{T}$vardır.

Soru: Bunu bir tane bularak gösterebilirmisiniz? İpucu: Yeni Hilbert uzayı üzerinde yeni bir iç çarpım tanımlayıp, Riesz-Fischer teoremi kullanılabilir. Bu arada bu teoremin adı nedir?

Ek soru: İlaveten hangi özellik şart koşulursa bu uzantıdan sadece tek bir tane vardır?

Ek soru 2: Daha genel işlemciler (simetrik/yoğun tanımlı/pozitif) için bir pozitif özeşlenik uzantı bulmak mümkün müdür?

Not: Kuantum mekaniğinde bir gözlenebilirin (tanımlar bu cevapta geçiyor) özeşlenik olması gerekmekte ve herhangi bir işlemci yazdığımızda onun özeşlenikliğini göstermek zor ya da imkansız olduğundan simetrik ve pozitif olduğunu gösterip bu teoremi kullanıyoruz.

Answer 1

Yanıt: $ \mathfrak{A}\subset\mathcal{H}$ için $q:\mathfrak{A} \times \mathfrak{A} \rightarrow \mathbb{C},\phi\rightarrow q(\phi)=(\phi,T\phi)$ şeklinde bir kare form olsun. O zaman $q$'nın bir kapanışı vardır: Yani $q$'nun, form normunda $ \mathfrak{A}$'nın tamamlaması $ \mathfrak{\hat{A}}$ üzerinde bir $\hat{q}$ uzantısı mevcuttur. $\hat{q}$ pozitif özeşlenik olan $T$ işlemcisinin kare formudur, öyle ki tüm $\phi,\psi\in \mathfrak{\hat{A}} $ için $\hat{q}(\phi,\psi)=(\vert \hat{T} \vert^{1/2}\phi,\vert \hat{T} \vert^{1/2}\psi) $ (*) geçerlidir. Böylece $\hat{T}$, (*) vasıtasıyla Riesz-Fréchet gösterim teoremi (sorudaki ipucunda ikinci ad yanlış) uyarınca tek olarak belirlenmiştir.

Örneğin, $-\Delta:Y=C_0^\infty(\mathbb{R}^3)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^3)$ için

(çünkü I. pozitif: $\underset{C_0^\infty(\mathbb{R}^3)\ni \phi \neq 0}{\forall}(\phi,-\frac{d^2\phi}{dx^2})>0$ ve II. simetrik: $(\phi,-\Delta\phi)=(\nabla\phi,\nabla\phi)=(-\Delta\phi,\phi)$)

$q(\phi)=(\phi,-\Delta\phi)=\int_{\mathbb{R}^3}\vert\nabla\phi\vert^2 dx \geq 0$ ve burada $\mathfrak{\hat{A}}=H^1(\mathbb{R}^3)$ olur.

Bu teoremin adı Friedrichs teoremidir, bu şekilde oluşturulan pozitif özeşlenik $\hat{T}$'ye Friedrichs uzantısı denir.

Ek soruya yanıt: Eğer uzantının tanım kümesinin $\mathfrak{A}$ içinde olması şart koşulursa, yukarıdaki $\hat{T}$ uzantısı $T$'nın yegane özeşlenik formudur.

Ek soru 2'ye yanıt: Pozitif değil de alttan sınırlı simetrik işlemciler ($T\leq-M \Longleftrightarrow \forall_\phi (\phi,T\phi)\leq-M(\phi,\phi)$) için de Friedrichs teoremi geçerlidir. Bunu göstermek için yukarıda $T$'nin yerine $T+M+1$ alınması yeterli olacaktır.