Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
828 kez görüntülendi

$M(x,y)+ N(x,y)dy/dx=0 $

Theorem:Eğer $M,N ,M_y,M_x$ bir dikdörtgensel bölgede sürekli ise $M_y=N_x$ ve denklem exact tir diyor.

Bu durumda kullandığımız bölgenin dikdörtgensel olması nedendir?

Lisans Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 828 kez görüntülendi

"kanıt yapmıyoruz" da çözümlerinin varlığını kanıtlayabiliyoruz

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Aslında bu daha genel bir teoremin (Poincare Lemması) nın diferansiyel denklemlere bir uyarlamasıdır.

$M\,dx+N\,dx$ formu için (bir düzlem bölgesinde)  $M_y=N_x$ ise "kapalıdır" denir.

$df=M\,dx+N\,dx$ olacak şekilde (bir düzlem bölgesinde tanımlı) $f(x,y)$ fonksiyonu varsa  bu form (bu bölgede)  "tam" dır"(exact) denir.

Poincare Lemması (kısmi türevlerde süreklilik gibi koşullar ile) "(bir noktaya göre) yıldız gibi" bölgelerde kapalı formların tam  form olduğunu ispatlar. Çoğu Analiz ve Diferansiyel denklemlerle ilgili kitaplarda (yıldız gibi tanımını yapmaktansa)  biraz basitleştirilip (ve teoremin kapsamı daraltılıp) dikdörtgen için (biraz daha genel olan konveks de kullanılabilir) ifade edilir. "(bir noktaya göre) yıldız gibi" olmayan bölgelerde Poincare Lemması yanlıştır, bu nedenle böyle bir kısıtlama gerekir) En basit örnek:

$\frac{y}{x^2+y^2}\,dx+\frac {-x}{x^2+y^2}\,dy$ formu (başlangıç noktası hariç düzlemde)  kapalıdır ama tam değildir.Yani:

$\frac{y}{x^2+y^2}\,dx+\frac {-x}{x^2+y^2}\,dy=df$ olacak şekilde (başlangıç hariç düzlemde tanımlı) bir $f(x,y)$ fonksiyonu  yoktur.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

$M\,dx+N\,dy=df$ olduğunda $f(x,y)=c$ (kesit) eğrileri  $M\,dx+N\,dy=0$ diferansiyel denkleminin çözümleri oluyor.

Exact  denklemin çözümünde integral çarpanına ihtiyaç  duyulması  bölgeyle de ilgili diyebilir miyiz?

"Exact" Tam  diff. denklemlerde integrasyon çarpanına gerek yoktur. 
"Exact" olmayanları "exact" yapmak için integrasyon çarpanı ile çarpılır. Bölge ile ilgisini göremiyorum.
20,282 soru
21,821 cevap
73,503 yorum
2,526,524 kullanıcı