Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi

M(x,y)+N(x,y)dy/dx=0

Theorem:Eğer M,N,My,Mx bir dikdörtgensel bölgede sürekli ise My=Nx ve denklem exact tir diyor.

Bu durumda kullandığımız bölgenin dikdörtgensel olması nedendir?

Lisans Matematik kategorisinde (11 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1k kez görüntülendi

"kanıt yapmıyoruz" da çözümlerinin varlığını kanıtlayabiliyoruz

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Aslında bu daha genel bir teoremin (Poincare Lemması) nın diferansiyel denklemlere bir uyarlamasıdır.

Mdx+Ndx formu için (bir düzlem bölgesinde)  My=Nx ise "kapalıdır" denir.

df=Mdx+Ndx olacak şekilde (bir düzlem bölgesinde tanımlı) f(x,y) fonksiyonu varsa  bu form (bu bölgede)  "tam" dır"(exact) denir.

Poincare Lemması (kısmi türevlerde süreklilik gibi koşullar ile) "(bir noktaya göre) yıldız gibi" bölgelerde kapalı formların tam  form olduğunu ispatlar. Çoğu Analiz ve Diferansiyel denklemlerle ilgili kitaplarda (yıldız gibi tanımını yapmaktansa)  biraz basitleştirilip (ve teoremin kapsamı daraltılıp) dikdörtgen için (biraz daha genel olan konveks de kullanılabilir) ifade edilir. "(bir noktaya göre) yıldız gibi" olmayan bölgelerde Poincare Lemması yanlıştır, bu nedenle böyle bir kısıtlama gerekir) En basit örnek:

yx2+y2dx+xx2+y2dy formu (başlangıç noktası hariç düzlemde)  kapalıdır ama tam değildir.Yani:

yx2+y2dx+xx2+y2dy=df olacak şekilde (başlangıç hariç düzlemde tanımlı) bir f(x,y) fonksiyonu  yoktur.

(6.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Mdx+Ndy=df olduğunda f(x,y)=c (kesit) eğrileri  Mdx+Ndy=0 diferansiyel denkleminin çözümleri oluyor.

Exact  denklemin çözümünde integral çarpanına ihtiyaç  duyulması  bölgeyle de ilgili diyebilir miyiz?

"Exact" Tam  diff. denklemlerde integrasyon çarpanına gerek yoktur. 
"Exact" olmayanları "exact" yapmak için integrasyon çarpanı ile çarpılır. Bölge ile ilgisini göremiyorum.
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,096,590 kullanıcı