$\forall i\in\{1,2,3\}:a_i$ $[a,b]\subseteq\mathbb{R}$'de sürekli bir gönderme, ayrıca $\forall x\in[a,b]:a_2(x)\neq 0$ sürekli türevlenebilir ve $y\in\mathcal{L}:=\{\tilde{y}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}|\ \tilde{y} \text{ iki kere sürekli türevlenebilir}\}$ için
$Ly:=a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y$ türevsel terimini inceleyeceğiz. Ama önce ihtiyaç duyacağımız birkaç tanımı araya sıkıştıracağım.
-----------------------------------------------------------------------------
Tanım: Verilen herhangi bir denklemin çözüm uzayı olarak $[a,b]\rightarrow [a,b]\times\mathbb{R}^{2},x\mapsto (x,y(x),y'(x))$ eğrileri ortaya bir faz portresi çıkartır.
$Ly=0$ denklemine bakalım.
Tanım:$\mathbb{L}_0:=\{\tilde{y}:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}|\ \tilde{y} \text{ iki kere sürekli türevlenebilir ve } Ly=0 \}$ olsun. O zaman $A_x:\mathcal{L}_0\rightarrow \mathbb{R}^{2}:\bar{y}\rightarrow\begin{pmatrix}\bar{y}(x)\\\bar{y}'(x)\end{pmatrix}$ başlangıç değeri eşdönüşümünü(adı üstünde izomorfizma) tanımlar.
Tanım: Denklemin faz portresinde; baş sınırdaki ($a\times \mathbb{R}^{2}$ düzlemindeki) çözüm değerleri son sınırdaki ($b\times \mathbb{R}^{2}$ düzlemindeki)çözüm değerlerine $\tau:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2}:\begin{pmatrix}v\\ w\end{pmatrix}\mapsto \tau \begin{pmatrix}v\\ w\end{pmatrix}:=A_b\circ A_a^{-1}\begin{pmatrix}v\\ w\end{pmatrix}$ göndermesi vasıtasıyla taşınır (üzerinde biraz düşünülmeli) ve buna taşıma eşdönüşümü denir.
Şimdi de bir $Ly+\lambda r(x)y=0$ denklemi verilmiş olsun, $r(x)$ burada pozitif ve sürekli bir gönderme- ağırlık fonksiyonu olarak adlandırılır.
Tanım:$V_a,V_b\subset \mathbb{R}^{2}$ tek boyutlu alt vektör uzayları olsun. $Ly+\lambda r(x)y=0$'nin çözüm uzayları $\lambda$'ya bağlı olarak değişir, dolayısıyla her $\lambda$ için problemin sınır şartlarıyla bağlantısını kuran (= $\mathcal{L}_0$'nin denkleme uygun olarak değiştirilmesinin ardından $V_b=\tau_{\lambda} V_a$) her seferinde farklı bir $\tau_\lambda:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ taşıma eşdönüşümü vardır.
$\begin{pmatrix}y(a)\\ y'(a)\end{pmatrix}\in V_a $ ve $\begin{pmatrix}y(b)\\ y'(b)\end{pmatrix}\in V_b=\tau_{\lambda} V_a$'yi geçerli kılan $y=y(x)$ çözümlerini bulma problemine özdeğer problemi denir.
Tanım: $p(x),q(x)$ $[a,b]$ üzerinde sürekli göndermeler ve de $p(x)$ hatta sürekli türevlenebilir ve hep sıfırdan farklı olsun. O zaman $(p(x)y')'+q(x)y+\lambda r(x) y=0$, $V_a,V_b\subset \mathbb{R}^{2}$ özdeğer problemine ağırlık fonksiyonlu Sturm-Liouville özdeğer problemi ($r(x)$ yoksa sadece S.L.) denir.
-----------------------------------------------------------------------------
Tanım: Eğer $\forall x\in[a,b]:a_2'(x)=a_1(x)$ ise, $L$'ye biçimsel özeşlenik denir. O zaman $Ly$'yi $q(x):=a_0(x)$ ve $p(x):=a_2(x)$ ile $(p(x)y')'+q(x)y$ olarak yazabiliriz. (Neredeyse S.L. denkleminin sol tarafı, sadece $\lambda y$ eksik!)
Önerme: $Ly$'yi uygun bir pozitif $r(x)$ göndermesiyle çarpıp şöyle biçimsel özeşlenik yapabiliriz.
Kanıt: $r(x)=e^{s(x)}$ şeklinde varsayarsak, $e^{s(x)}a_2(x)y''+e^{s(x)}a_1(x)y'+e^{s(x)}a_1(x)y'+e^{s(x)}a_0(x)y$'nın biçimsel özeşlenik olması için $s'(x)e^{s(x)}a_2(x)+e^{s(x)}a_2'(x)=e^{s(x)}a_1(x)\rightarrow s'(x)=\frac{a_1(x)-a_2'(x)}{a_2(x)}$ gerekmekte, biz de bu halde $s(x)$'yi sağ tarafın bir ilkel fonksiyonu olarak seçelim.$\square$
Bu da demektir ki, bir $Ly+\lambda y=0$ özdeğer denklemini her zaman ($r(x)Ly+\lambda r(x) y=0$ $\underset{\text{Önerme}}{\Rightarrow}$) ağırlık fonksiyonlu S.L. denklemi şeklinde yazabiliriz.
Bu şu işimize yarıyor: $\frac{1}{r(x)}L$'yi $C^{0}[a,b]$ üzerinde $\langle \frac{1}{r}L\phi,\psi\rangle_r=\langle \phi, \frac{1}{r}L\psi\rangle_r$ iç çarpımıyla tanımlayıp özeşlenik yapıp a.f.S.L. özdeğer problemini ana eksen dönüşümüyle kolaycana çözebiliyoruz.
Tabiki de hepsi bu kadar değil, başlı başına bir Sturm-Liouville teorisi var.