Bir yol buldum sanırım! Yorumumda bahsi geçen sorudaki teoremleri hatırlatırım (Lütfen bakınız. Buraya tekrar yazmayacağım).
Öncelikle, √2=[1;2,2,2,2,2,…]
olduğu bilinmektedir
(*).
Yukarıdaki linkte verilen Teorem 1 bizim için önemli ve belirleyici olacak. Teorem 2 hiç kullanılmayacak. Onun için de teorem deyince Teorem 1 kasdedilecektir. Başlayalım...
Öncelikle, teorem yardımıyla (pn,qn) ikililerini birkaç terim için hesaplayıp bir motif bulmaya çalışacağım. Burada hesapları açıkça yazmayacağım: p0=1q0=1p1=3q1=2p2=7q2=5p3=17q3=12
diye gidiyor (umuyoruz!).
Bu dizide şu düzen dikkati çekiyor:
ÖNERME: Her n için qn+1=pn+qnpn+1=qn+qn+1=pn+2qn
eşitlikleri geçerlidir.
İSBAT: Tümevarımı kullanacağız. n=0 için önerme doğrudur. qn=pn−1+qn−1pn=pn−1+2qn−1
önermesi doğru olsun.
Bu son denklem takımından (pn−1,qn−1) ikililerini (pn,qn) cinsinden çekersek pn−1=2qn−pnqn−1=pn−qn
alınır. Bunları en başta vermediğimiz ama zikri geçen
(pn+1,qn+1) tanımına koyarsak istenen kolaylıkla gösterilmiş olur.
Sonuçta, ardışık ikilileri (üçlüleri değil!) birbirine bağlayan bir tekrarlama bağıntısı elde ettik. Biz yine hesapladığımız diziye ve onda bulduğumuz düzene dönelim.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SONUÇ: Yukarıda isbât edilen ÖNERME'yi kullanarak, (1,1) ikilisinden başlayarak istenen (pn,qn) ikilisi çabucak bulunur. Sonra da pn/qn rasyonel sayısı açıkça bölme yaparak hesaplanır.
ÖRNEK: n=5 olsun. O halde, (p5,q5)=(99,70) bulunur. Bu bölmeyi yaparsak, 10-20 saniye içerisinde 9970=1,¯414285714
olduğu görülür.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(*) NOT: Bilinmese bile bu zincir kesrin toplamına x dersek, Buradan kolaylıkla x−1=1x+1 ve x2=2 eşitliği alınır.