Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
7 beğenilme 0 beğenilmeme
3.2k kez görüntülendi

Elimizde sadece kagit kalem varmis gibi dusunelim. Teorem vs kullanmak serbest. Kisa bir sure icinde (metodu da belli ederek) 2 sayisinin kac tane basamagini bulabiliriz. En mukkemmel yanit olmasina gerek yok. Iyi bir beyin egzersizi de olabilir.


Ayrica su soruya da bakabilirsiniz: 2 sayisinin basamaklari

Lisans Matematik kategorisinde (25.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 3.2k kez görüntülendi

Ben bunu cocukken hesap makinesiyle yapiyordum canim sikilinca annemin isyerinde. 

Türev ile yaklaşık olarak 1,5 buldum :) .

%6 lık bir hata.

Bize orta okulda öğretmişlerdi, elle karekök almayı.

Bilgileri tazelemek lazım arada. :)

Zincir kesirlerle yaklaşılabilir. 2=[1;2,2,2,2,2,...]

olduğu mâlumdur. Bir bakalım, oradaki teoremleri kullanmaya çalışalım.

http://www.matkafasi.com/16041/devamli-kesir-teoremlerini-kanitlayin 

ee, yorumculardan.kimse cevap vermedi..

6 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Newton Methodu da kulanilabilir. Soyle ki.

f(x)=x22 olsun. x0 herhangi bir baslangic noktasi ( her baslangic noktasi icin koke yakinsamaz )

x1=x0f(x0)f(x0)

x2=x1f(x1)f(x1)

x3=x2f(x2)f(x2)

.

.

xn+1=xnf(xn)f(xn)

x0=1 olsun. f(x)=2x dir.

x1=1f(1)f(1)=1(1)2=32

x2=32f(32)f(32)=32143=1712

x3=1712f(1712)f(1712)=171211441716=577408=1.41422

Animasyon https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ANewtonIteration_Ani.gif


(2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Sizin verdiğiniz yaklaşıklıklar da aynı kesirli sayılarla belirleniyor. İki metot denk olmalı.


2 beğenilme 0 beğenilmeme

Fixed Point Iterasyonu da kulanilabilir. Soyle ki.

x2=2x2+x2=x2+22x2=x2+22x22x=x2+22xx=x2+22x=f(x) 

xn+1=f(xn) 

x0=1 bizim baslangic noktasi olsun.

x1=f(x0)=f(1)=32

x2=f(x1)=f(32)=(32)2+2232=1712

x3=f(x2)=f(1712)=(1712)2+221712=577408=1.41421568627451

x4=f(x3)=f(577408)=(577408)2+22577408=665857470832=1.41421356237469


(2.9k puan) tarafından 
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Acaba 1<2<41<2<22=1,...

1,96<2<2,25(1,4)2<2<(1,5)21,4<2<1,52=1,4...

(1,41)2<2<(1,42)21,41<2<1,422=1,41... şeklinde yol alamayız mı?

(19.2k puan) tarafından 

Alabiliriz. Peki algoritmasi nedir bunun?

Kare ile karekök arasındaki ilişki ve sıralama :))

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir yol buldum sanırım! Yorumumda bahsi geçen sorudaki teoremleri hatırlatırım (Lütfen bakınız. Buraya tekrar yazmayacağım).

Öncelikle, 2=[1;2,2,2,2,2,]

olduğu bilinmektedir (*)

Yukarıdaki linkte verilen Teorem 1 bizim için önemli ve belirleyici olacak. Teorem 2 hiç kullanılmayacak. Onun için de teorem deyince Teorem 1 kasdedilecektir. Başlayalım...

Öncelikle, teorem yardımıyla (pn,qn) ikililerini birkaç terim için hesaplayıp bir motif bulmaya çalışacağım. Burada hesapları açıkça yazmayacağım: p0=1q0=1p1=3q1=2p2=7q2=5p3=17q3=12

diye gidiyor (umuyoruz!).

Bu dizide şu düzen dikkati çekiyor: 

ÖNERME: Her n için qn+1=pn+qnpn+1=qn+qn+1=pn+2qn

eşitlikleri geçerlidir.

İSBAT: Tümevarımı kullanacağız. n=0 için önerme doğrudur. qn=pn1+qn1pn=pn1+2qn1

önermesi doğru olsun.

Bu son denklem takımından (pn1,qn1) ikililerini (pn,qn) cinsinden çekersek pn1=2qnpnqn1=pnqn

alınır. Bunları en başta vermediğimiz ama zikri geçen (pn+1,qn+1) tanımına koyarsak istenen kolaylıkla  gösterilmiş olur.

Sonuçta, ardışık ikilileri (üçlüleri değil!) birbirine bağlayan bir tekrarlama bağıntısı elde ettik. Biz yine hesapladığımız diziye ve onda bulduğumuz düzene dönelim.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SONUÇ: Yukarıda isbât edilen ÖNERME'yi kullanarak, (1,1) ikilisinden başlayarak istenen (pn,qn) ikilisi çabucak bulunur. Sonra da pn/qn rasyonel sayısı açıkça bölme yaparak hesaplanır.

ÖRNEK: n=5 olsun. O halde, (p5,q5)=(99,70) bulunur. Bu bölmeyi yaparsak, 10-20 saniye içerisinde 9970=1,¯414285714

olduğu görülür. 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(*) NOT: Bilinmese bile bu zincir kesrin toplamına x dersek, Buradan kolaylıkla x1=1x+1 ve x2=2 eşitliği alınır. 

(1.4k puan) tarafından 
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Yavas olmakla birlikte Bisection Methodu da kullanilabilir. Soyle ki.

f(x)=x22 olsun. f(1)<0, f(2)>0 burdan f(1)f(2)<0 oldugundan f(x) in bir koku [1,2]=[a,b] araligindadir.

a0=a=1,  b0=b=2 olmak uzere x0=a0+b02=1+22=32 olur.

f(x0)>0 oldugundan kok [a0,x0] araligindadir. x0=b1 diyelim.

x1=a0+b12=1+3/22=54 olur.

f(x1)<0 oldugundan kok [x1,b1] araligindadir. x1=a1 diyelim.

x2=a1+b12=5/4+3/22=118 olur.


Kisacasi kok hangi aralikta ise o araligin iki ucunu toplayip 2ye boluyoruz..


(2.9k puan) tarafından 

Ek olarak: Bu yöntemler sadece yaklaşık değeri veriyor. Basamaklarını hesapladığımızdan emin olmak için hata payını da bilmemiz şart.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

x1=2  ve  xn+1=12(xn+2xn) olmak üzere an dizisi, Q'da bir dizidir. Azalan ve alttan sınırlıdır. O halde bu dizi Monoton Yakınsaklık Teoremi uyarınca yakınsaktır. Üstelik de 2 sayısına yakınsar. Dolayısıyla yeteri kadar büyük n sayıları için 2 sayısının istenildiği kadar basamağını bulabiliriz ama bu iş sadece kalem ve kağıtla kısa bir sürede olmaz.

(11.5k puan) tarafından 
20,299 soru
21,845 cevap
73,549 yorum
2,757,334 kullanıcı