$\sqrt 2$ sayisinin bir kac basamagini bulalim

Question

Elimizde sadece kagit kalem varmis gibi dusunelim. Teorem vs kullanmak serbest. Kisa bir sure icinde (metodu da belli ederek) $\sqrt 2$ sayisinin kac tane basamagini bulabiliriz. En mukkemmel yanit olmasina gerek yok. Iyi bir beyin egzersizi de olabilir.


Ayrica su soruya da bakabilirsiniz: $\sqrt 2$ sayisinin basamaklari

Comments

Bakınız: http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.sqrt.by.hand.html

---

Ben bunu cocukken hesap makinesiyle yapiyordum canim sikilinca annemin isyerinde. 

---

Türev ile yaklaşık olarak ${1,5}$ buldum :) .

${\%6}$ lık bir hata.

---

Bize orta okulda öğretmişlerdi, elle karekök almayı.

Bilgileri tazelemek lazım arada. :)

---

Zincir kesirlerle yaklaşılabilir. $$\sqrt{2}=[1;2,2,2,2,2, ...]$$ olduğu mâlumdur. Bir bakalım, oradaki teoremleri kullanmaya çalışalım.

http://www.matkafasi.com/16041/devamli-kesir-teoremlerini-kanitlayin 

---

ee, yorumculardan.kimse cevap vermedi..

Answer 1

Newton Methodu da kulanilabilir. Soyle ki.

$f(x)=x^2-2$ olsun. $x_0$ herhangi bir baslangic noktasi ( her baslangic noktasi icin koke yakinsamaz )

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$

$x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}$

$.$

$.$

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

$x_0=1$ olsun. $f'(x)=2x$ dir.

$x_1=1-\frac{f(1)}{f'(1)}=1-\frac{(-1)}{2}=\frac{3}{2}$

$x_2=\frac{3}{2}-\frac{f(\frac{3}{2})}{f'(\frac{3}{2})}=\frac{3}{2}-\frac{\frac{1}{4}}{3}=\frac{17}{12}$

$x_3=\frac{17}{12}-\frac{f(\frac{17}{12})}{f'(\frac{17}{12})}=\frac{17}{12}-\frac{\frac{1}{144}}{\frac{17}{16}}=\frac{577}{408}=1.41422$

Animasyon https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ANewtonIteration_Ani.gif

Comments

Sizin verdiğiniz yaklaşıklıklar da aynı kesirli sayılarla belirleniyor. İki metot denk olmalı.

Answer 2

Fixed Point Iterasyonu da kulanilabilir. Soyle ki.

$x^2=2 \rightarrow x^2+x^2=x^2+2  \rightarrow 2x^2=x^2+2  \rightarrow \frac{2x^2}{2x}=\frac{x^2+2}{2x}  \rightarrow x=\frac{x^2+2}{2x}=f(x) $ 

$x_{n+1}=f(x_n)$ 

$x_0=1$ bizim baslangic noktasi olsun.

$x_1=f(x_0)=f(1)=\frac{3}{2}$

$x_2=f(x_1)=f(\frac{3}{2})=\frac{(\frac{3}{2})^2+2}{2\frac{3}{2}}=\frac{17}{12}$

$x_3=f(x_2)=f(\frac{17}{12})=\frac{(\frac{17}{12})^2+2}{2\frac{17}{12}}=\frac{577}{408}= \large{1.4142156}\small{8627451}$

$x_4=f(x_3)=f(\frac{577}{408})=\frac{(\frac{577}{408})^2+2}{2\frac{577}{408}}=\frac{665857}{470832}= \large{1.41421356237}\small{469}$

Answer 3

Acaba $\sqrt1<\sqrt2<\sqrt4 \Rightarrow 1<\sqrt2<2  \rightarrow \sqrt2=1,...$

$1,96<2<2,25 \Rightarrow (1,4)^2<2<(1,5)^2 \Rightarrow 1,4<\sqrt2<1,5 \Rightarrow \sqrt2=1,4...$

$(1,41)^2<2<(1,42)^2\Rightarrow 1,41<\sqrt2<1,42 \Rightarrow  \sqrt2=1,41...$ şeklinde yol alamayız mı?

Comments

Alabiliriz. Peki algoritmasi nedir bunun?

---

Kare ile karekök arasındaki ilişki ve sıralama :))

Answer 4

Bir yol buldum sanırım! Yorumumda bahsi geçen sorudaki teoremleri hatırlatırım (Lütfen bakınız. Buraya tekrar yazmayacağım).

Öncelikle, $$\sqrt{2}=[1;2,2,2,2,2,\dots]$$ olduğu bilinmektedir (*). 

Yukarıdaki linkte verilen Teorem 1 bizim için önemli ve belirleyici olacak. Teorem 2 hiç kullanılmayacak. Onun için de teorem deyince Teorem 1 kasdedilecektir. Başlayalım...

Öncelikle, teorem yardımıyla $(p_n, q_n)$ ikililerini birkaç terim için hesaplayıp bir motif bulmaya çalışacağım. Burada hesapları açıkça yazmayacağım: $$\begin{align} p_0&=1 &q_0=1\\ p_1&=3 &q_1=2\\ p_2&=7 &q_2=5\\ p_3&=17 &q_3=12\end{align}$$ diye gidiyor (umuyoruz!).

Bu dizide şu düzen dikkati çekiyor: 

ÖNERME: Her $n$ için $$\begin{align}q_{n+1}&=p_n+q_n\\p_{n+1}&=q_n+q_{n+1}=p_n+2q_n\end{align}$$ eşitlikleri geçerlidir.

İSBAT: Tümevarımı kullanacağız. $n=0$ için önerme doğrudur. $$\begin{align}q_{n}&=p_{n-1}+q_{n-1}\\p_{n}&=p_{n-1}+2q_{n-1}\end{align}$$önermesi doğru olsun.

Bu son denklem takımından $(p_{n-1}, q_{n-1})$ ikililerini $(p_n,q_n)$ cinsinden çekersek $$\begin{align}p_{n-1}&=2q_n-p_{n}\\q_{n-1}&=p_n-q_n\end{align}$$alınır. Bunları en başta vermediğimiz ama zikri geçen $(p_{n+1},q_{n+1})$ tanımına koyarsak istenen kolaylıkla  gösterilmiş olur.

Sonuçta, ardışık ikilileri (üçlüleri değil!) birbirine bağlayan bir tekrarlama bağıntısı elde ettik. Biz yine hesapladığımız diziye ve onda bulduğumuz düzene dönelim.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SONUÇ: Yukarıda isbât edilen ÖNERME'yi kullanarak, (1,1) ikilisinden başlayarak istenen $(p_n,q_n)$ ikilisi çabucak bulunur. Sonra da $p_n/q_n$ rasyonel sayısı açıkça bölme yaparak hesaplanır.

ÖRNEK: $n=5$ olsun. O halde, $(p_5,q_5)=(99,70)$ bulunur. Bu bölmeyi yaparsak, 10-20 saniye içerisinde $$\frac{99}{70}=1,\overline{414285714}$$ olduğu görülür. 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(*) NOT: Bilinmese bile bu zincir kesrin toplamına $x$ dersek, Buradan kolaylıkla $x-1=\frac{1}{x+1}$ ve $x^2=2$ eşitliği alınır. 

Answer 5

Yavas olmakla birlikte Bisection Methodu da kullanilabilir. Soyle ki.

$f(x)=x^2-2$ olsun. $f(1)<0$, $f(2)>0$ burdan $f(1)f(2)<0$ oldugundan $f(x)$ in bir koku [1,2]=[a,b] araligindadir.

$a_0=a=1,$  $b_0=b=2$ olmak uzere $x_0=\frac{a_0+b_0}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$ olur.

$f(x_0)>0$ oldugundan kok $ [a_0,x_0]$ araligindadir. $x_0=b_1$ diyelim.

$x_1=\frac{a_0+b_1}{2}=\frac{1+3/2}{2}=\frac{5}{4}$ olur.

$f(x_1)<0$ oldugundan kok $ [x_1,b_1]$ araligindadir. $x_1=a_1$ diyelim.

$x_2=\frac{a_1+b_1}{2}=\frac{5/4+3/2}{2}=\frac{11}{8}$ olur.

Kisacasi kok hangi aralikta ise o araligin iki ucunu toplayip 2ye boluyoruz..

Comments

Ek olarak: Bu yöntemler sadece yaklaşık değeri veriyor. Basamaklarını hesapladığımızdan emin olmak için hata payını da bilmemiz şart.

Answer 6

$x_1=2 \,\ \text{ ve } \,\ x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)$ olmak üzere $\langle a_n \rangle$ dizisi, $\mathbb{Q}$'da bir dizidir. Azalan ve alttan sınırlıdır. O halde bu dizi Monoton Yakınsaklık Teoremi uyarınca yakınsaktır. Üstelik de $\sqrt{2}$ sayısına yakınsar. Dolayısıyla yeteri kadar büyük $n$ sayıları için $\sqrt2$ sayısının istenildiği kadar basamağını bulabiliriz ama bu iş sadece kalem ve kağıtla kısa bir sürede olmaz.