Processing math: 0%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi

\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=k+1}^{2k}{\frac{1}{n}}  toplamini bulunuz? 

Lisans Matematik kategorisinde (25.6k puan) tarafından  | 1k kez görüntülendi

Cevap {\ln(2)} mi hocam ?

evet.             

Daha önceden bunun sinüslü olanını sormuştunuz.Bende aynı cevap olabilir diye hemen yazdım :).

O soruyu unutmustum bile. :) Bunun icin integral kullanilabilir.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

{\large\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=k+1}^{2k}{\frac{1}{n}}}

İfadeyi şöylede yazabiliriz:

{\large\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{k}{\frac{1}{n+k}}}

Paydayı {k} parantezine alalım ve sadeleştirelim.

{\large\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{k}{\frac{1}{k(1+\frac{n}{k})}}}

{\large\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{k}\sum\limits_{n=1}^{k}{\frac{1}{(1+\frac{n}{k})}}}

Riemann'ın integral-toplam için şöyle bir formülü var :

{\large\int_0^1 f(x)dx=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{k}\sum\limits_{n=1}^{k}f(\frac{n}{k})}

Bu formüle göre ifademizi integral halinde yazalım.

{\large\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{k}\sum\limits_{n=1}^{k}{\frac{1}{(1+\frac{n}{k})}}=\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx}

İntegrali çözelim.

{\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx=\huge[\large \ln(|1+x|) \huge]^1_0 \large =\ln(2)}

Olarak bulunur.

Ayrıca genel bir formülde yazabiliriz.

{\large\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=\eta k+1}^{\mu k}{\frac{1}{n}}=\ln(\frac{\mu}{\eta})}

(1.1k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,093,728 kullanıcı