{\large\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=k+1}^{2k}{\frac{1}{n}}}
İfadeyi şöylede yazabiliriz:
{\large\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{k}{\frac{1}{n+k}}}
Paydayı {k} parantezine alalım ve sadeleştirelim.
{\large\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{k}{\frac{1}{k(1+\frac{n}{k})}}}
{\large\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{k}\sum\limits_{n=1}^{k}{\frac{1}{(1+\frac{n}{k})}}}
Riemann'ın integral-toplam için şöyle bir formülü var :
{\large\int_0^1 f(x)dx=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{k}\sum\limits_{n=1}^{k}f(\frac{n}{k})}
Bu formüle göre ifademizi integral halinde yazalım.
{\large\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{k}\sum\limits_{n=1}^{k}{\frac{1}{(1+\frac{n}{k})}}=\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx}
İntegrali çözelim.
{\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx=\huge[\large \ln(|1+x|) \huge]^1_0 \large =\ln(2)}
Olarak bulunur.
Ayrıca genel bir formülde yazabiliriz.
{\large\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=\eta k+1}^{\mu k}{\frac{1}{n}}=\ln(\frac{\mu}{\eta})}