$\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=k+1}^{2k}{\frac{1}{n}} = 0$?

Question

$\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=k+1}^{2k}{\frac{1}{n}}$  toplamini bulunuz? 

Comments

Cevap ${\ln(2)}$ mi hocam ?

---

evet.             

---

Daha önceden bunun sinüslü olanını sormuştunuz.Bende aynı cevap olabilir diye hemen yazdım :).

---

O soruyu unutmustum bile. :) Bunun icin integral kullanilabilir.

Answer 1

$${\large\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=k+1}^{2k}{\frac{1}{n}}}$$

İfadeyi şöylede yazabiliriz:

$${\large\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{k}{\frac{1}{n+k}}}$$

Paydayı ${k}$ parantezine alalım ve sadeleştirelim.

$${\large\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{k}{\frac{1}{k(1+\frac{n}{k})}}}$$

$${\large\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{k}\sum\limits_{n=1}^{k}{\frac{1}{(1+\frac{n}{k})}}}$$

Riemann'ın integral-toplam için şöyle bir formülü var :

$${\large\int_0^1 f(x)dx=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{k}\sum\limits_{n=1}^{k}f(\frac{n}{k})}$$

Bu formüle göre ifademizi integral halinde yazalım.

$${\large\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{k}\sum\limits_{n=1}^{k}{\frac{1}{(1+\frac{n}{k})}}=\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx}$$

İntegrali çözelim.

$${\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx=\huge[\large \ln(|1+x|) \huge]^1_0 \large =\ln(2)}$$

Olarak bulunur.

Ayrıca genel bir formülde yazabiliriz.

$${\large\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=\eta k+1}^{\mu k}{\frac{1}{n}}=\ln(\frac{\mu}{\eta})}$$