Question

Banach-Tarski Teoremi bizim de bir örneğinde yaşamakta olduğumuz Öklid uzayında şunu yapmanın mümkün olduğunu ifade ediyor :
- İçi dolu bir küre öyle sonlu sayıdaki parçalara ayrılabilir ki, bunları (hiç eğip bükmeden, yalnızca öteleyip döndürerek) yeniden bir araya getirdiğimizde aynı küreden iki tane elde edebilirsiniz.
- Kürenin çapı ne olursa olsun, küreyi sonlu sayıda parçaya ayırıp parçaları yeniden bir araya getirerek istediğiniz büyüklükte bir küre elde edebilirsiniz.
Ve bu parçalamalarda küreyi en az 5 parçaya ayırdığımızda bunun yapılabileceği belirtiliyor.
Bu teoremin seçim aksiyomuyla ilişkisi nedir? Neden en az 5 parçayla mümkün olabiliyor? Nasıl kanıtlanabilir?

Comments

Cevabi bilmiyorum ama bu absurd videonun keyifli olduğunu düşünüyorum :) Matematikrevyen 2011: Banach-Tarski

---

İzlemiştim bunu. :) Allah seni ne yapmasın :D

---

Bana biri yapmasin da arada biraz sululuk iyidir ;)

---

İçinde bulunduğumuz uzay'ın Öklid uzayı olduğu konusunda derin çekincelerim var. 

---

Hocam düşüncelerinizi merak etmiyor değilim. Paylaşabilir misiniz rica etsem?

---

Ben zaten düşüncemi paylaştım ya (eğer bana dediysen tabi, hocam lafına atladı saf demeyin arkamdan). Bundan sonrası senin düşüneceklerin ve soracaklarınla şekillenir. Mesela, bu adam neden böyle dedi, öklid uzayı olmayabilir mi yani yaşadığımız uzay diye sorabilirsin. Ya da, yaşadığımız uzayın matematikte bildiğim bir nesneye karşılık geldiğini neden düşünüyorum diye sorabilirsin kendine. Bunlar felsefi olduğu kadar matematiksel sorular da.

Answer 1

Banach-Tarski paradoksuyla ilgili bulabileceğiniz en kapsamlı kaynak sanırım Stan Wagon'ın "The Banach-Tarski Paradox" isimli kitabıdır. Kitapta bu teoremin ve çeşitli varyasyonlarının kanıtını tüm detaylarıyla bulabilirsiniz.

Seçim aksiyomuyla olan ilişkisi şu. Kanıtın bir noktasında bir kümeler ailesinin boş olmayan her elemanından bir eleman seçiyoruz ve bunu yapabilmek için seçim beliti gerekiyor. Peki bu teoremi kanıtlamak için seçim belitini kesinlikle kullanmamız gerekli mi, yoksa bu teoremi sadece ZF aksiyomları ile kanıtlamak mümkün olabilir mi? Belki de ZF içerisinde bizim henüz bulamadığımız başka bir kanıt vardır?

Bu soruların cevabı ne yazık ki hayır. Banach- Tarski paradoksundaki bazı parçalar eli mahkum Lebesgue ölçülemez olmak zorundadır (aksi halde 1=2 olduğunu gösterip çelişki kanıtlardık). Yani Banach-Tarski paradoksunu kanıtlayabiliyorsanız ölçülemez bir kümenin olduğunu da kanıtlayabiliyorsunuz demektir.

Öte yandan Robert Solovay göstermiştir ki eğer ZFC+"Erişilemez bir kardinal vardır" teorisi tutarlı ise ZF+DC+"Gerçel sayıların her alt kümesi ölçülebilirdir" teorisi de tutarlıdır. Dolayısıyla, Banach-Tarksi paradoksu ZF+DC teorisi içerisinde kanıtlanamaz (eğer ZFC+"Erişilemez bir kardinal vardır" teorisi tutarlı ise). Makalenin kendisine erişmek için buraya bakabilirsiniz.

Referans verdiğim kitabın 13. bölümüne bakarsanız ZF+DC'nin Banach-Tarski paradoksunu kanıtlamaya yeterli olmadığını sadece ZF'nin tutarlı olduğu varsayımı altında da kanıtlayabileceğinizi görebilirsiniz.

Comments

Öte yandan ZF tutarsız ise zaten her şeyi kanıtlayabilirsiniz!

---

Çok teşekkürler. İncelicem hepsini.

---

Ama ZF tutarsızsa her şeyi kanıtlamak yerine ZF'yi değiştiririz depresyondan çıktıktan sonra.

---

Zaten tutarsız olması pek olası değil de, ne olur ne olmaz diye ekledim :)