yukarıda sorulan sorunun teorem olarak ifadesi şu:
Teorem: a ve b fonksiyonları açık bir I aralığı üzerinde sürekli olmak üzere, v1 ve v2, y″+ay′+by=0 ..............(1) denkleminin lineer bağımsız iki çözümü olsun. Eğer f, (1) denkleminin I aralığı üzerinde herhangi bir çözümü ise, bu takdirde ∀x∈I için
f(x)=c1v1(x)+c2v2(x)
olacak şekilde c1 ve c2 sabitleri vardır.
---------------------------------------------------------------------------
yukarıda anlatılmak istenen şey; 2.mertebeden lineer-homojen denklemlerin genel çözümlerinin bağımsız iki çözümü varsa, bu çözümlerin f(x)=c1v1(x)+c2y2(x) genel çözümleri ile verilebileceğini söyler.
soruda a yerine özel olarak 0 alınmış.
ispata geçmeden önce iki fonksiyonun lineer bağımsızlığı ne demek, onun tanımını da verelim.
-------------------------------------------------------------------------
Tanım (İki Fonksiyonun Lineer Bağımsızlığı): Bir I açık aralığı üzerinde tanımlı olan iki fonksiyondan hiçbiri, diğerinin bir sabit katı değilse, f ve g fonksiyonlarına, I üzerinde lineer bağımsızdır denir.
bu fonksiyonların lineer bağımsız olup olmadıklarına, fg veya gf oranlarının I üzerinde sabit değerli bir fonksiyon olup olmadıklarına bakarak karar vereceğiz.
-------------------------------------------------------------------------
İspat. varsayalım ki a, bir I aralığı üzerinde bir nokta olsun.
c1.v1(a)+c2.v2(a)=f(a)c1.v′1(a)+c2.v′2(a)=f′(a) ..............(2)
için, c1 ve c2 bilinmeyenlerine göre (2) sisteminin x=a'daki katsayılar determinantı
W(v1,v2)=|v1v2v′1v′2|
olup, v1 ve v2 lineer bağımsız çözümler olduğu için (yukarıda teoremin ifadesinde bunların lineer bağımsız çözümler olduğu kabul etmiştik), lineer cebir bilgilerimizden W(v1,v2)≠0 olduğunu söyleriz.
böylece c1 ve c2 değerlerini tek türlü belirleyebiliriz. yani bu çözümler vardır ve tektir deriz. belirlediğimiz bu c1 ve c2 değerleri (1) denkleminin
K(x)=c1.v1(a)+c2.v2(a)
şeklindeki çözümünde kullanılabilir. öyleyse,
K(x)=c1.v1(a)+c2.v2(a)=f(a) ve
K′(x)=c1.v′1(a)+c2.v′2(a)=f′(a)
bulunur. f, K ve f′, K′ ifadeleri, x=a noktasında aynı başlangıç değerlerine sahip oldukları için özdeştirler ve dolayısıyla f(x)≡K(x)=c1v1(x)+c2v2(x) olur.
böylece, özel olarak yukarıdaki (2) sisteminde a=0 alınırsa, istenen bulunmuş olur.