Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
10.9k kez görüntülendi

v1 ve v2 herhangi iki çözümüyse y+ay+by=0 denkleminin, öyle ki v2/v1 sabit bir sayı değil, (yani çözümler lineer açıdan bağımlı değiller birbirlerine)


Soru: y=f(x) herhangi bir çözümüyse diferansiyel denklemin,

Wronskian özelliklerini kullanarak 


c1.v1(0)+c2.v2(0)=f(0) ve

 c1.v1(0)+c2.v2(0)=f(0)

olduğunu gösteriniz.


c1,c2R



Lisans Matematik kategorisinde (621 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 10.9k kez görüntülendi

Soruda v1 ve v2 lineer bağımsız çözümler olarak verilmiş. Sonra y=f(x) bir çözüm denmiş. Sorudaki diferansiyel denklem ( a ve b Sabit olarak düşünüyorum) ikinci mertebeden sabit katsayılı homojen bir diferansiyel denklem. Zaten ikinci mertebeden lineer homojen bir diferansiyel denklemin lineer bağımsız iki çözümü olmalıdır. O halde çözüm olarak verilen y=f(x) v1 ve v2 nin lineer kombinasyonu olmalıdır ki onu da zaten yazmışsınız. Soruda Wronskian ile neyi bulmak istediğinizi anlamadım. Daha açık sorabilir misiniz ?

f(0) ve altindakinin esitini wronskian kullanarak cozmemiz istenmis. Mesela ilk w(f,v1) ve boyle iki denklem yazip cozmeyo denedim ama bi yere varamamistm

Tamam bu soruya bakayim. Yaniti yazmam biraz surebilir. Ama cozersem yazarim kesin.

http://mathworld.wolfram.com/AbelsDifferentialEquationIdentity.html


şu kullanılacak kesin ama, bulamadım bende daha. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

yukarıda sorulan sorunun teorem olarak ifadesi şu:

Teorem: a ve b fonksiyonları açık bir I aralığı üzerinde sürekli olmak üzere, v1 ve v2, y+ay+by=0 ..............(1) denkleminin lineer bağımsız iki çözümü olsun. Eğer f, (1) denkleminin I aralığı üzerinde herhangi bir çözümü ise, bu takdirde xI için

f(x)=c1v1(x)+c2v2(x)

olacak şekilde c1 ve c2 sabitleri vardır.

---------------------------------------------------------------------------

yukarıda anlatılmak istenen şey; 2.mertebeden lineer-homojen denklemlerin genel çözümlerinin bağımsız iki çözümü varsa, bu çözümlerin f(x)=c1v1(x)+c2y2(x) genel çözümleri ile verilebileceğini söyler.

soruda a yerine özel olarak 0 alınmış.

ispata geçmeden önce iki fonksiyonun lineer bağımsızlığı ne demek, onun tanımını da verelim.

-------------------------------------------------------------------------

Tanım (İki Fonksiyonun Lineer Bağımsızlığı): Bir I açık aralığı üzerinde tanımlı olan iki fonksiyondan hiçbiri, diğerinin bir sabit katı değilse, f ve g fonksiyonlarına, I üzerinde lineer bağımsızdır denir.

bu fonksiyonların lineer bağımsız olup olmadıklarına, fg veya gf oranlarının I üzerinde sabit değerli bir fonksiyon olup olmadıklarına bakarak karar vereceğiz.

-------------------------------------------------------------------------

İspat. varsayalım ki a, bir I aralığı üzerinde bir nokta olsun.

c1.v1(a)+c2.v2(a)=f(a)c1.v1(a)+c2.v2(a)=f(a) ..............(2)

için, c1 ve c2 bilinmeyenlerine göre (2) sisteminin x=a'daki katsayılar determinantı

W(v1,v2)=|v1v2v1v2|

olup, v1 ve v2 lineer bağımsız çözümler olduğu için (yukarıda teoremin ifadesinde bunların lineer bağımsız çözümler olduğu kabul etmiştik), lineer cebir bilgilerimizden W(v1,v2)0 olduğunu söyleriz.

böylece c1 ve c2 değerlerini tek türlü belirleyebiliriz. yani bu çözümler vardır ve tektir deriz. belirlediğimiz bu c1 ve c2 değerleri (1) denkleminin

K(x)=c1.v1(a)+c2.v2(a)

şeklindeki çözümünde kullanılabilir. öyleyse,

K(x)=c1.v1(a)+c2.v2(a)=f(a) ve

K(x)=c1.v1(a)+c2.v2(a)=f(a)

bulunur. f, K ve f, K ifadeleri, x=a noktasında aynı başlangıç değerlerine sahip oldukları için özdeştirler ve dolayısıyla f(x)K(x)=c1v1(x)+c2v2(x) olur.

böylece, özel olarak yukarıdaki (2) sisteminde a=0 alınırsa, istenen bulunmuş olur.

(144 puan) tarafından 

cok tesekkurler

rica ederim.

20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,090,424 kullanıcı