Sabit öndemetin demetleştirmesi nedir?

Question

$X$ bir topolojik uzay $A$ da herhangi bir abelyen grup olsun. Boş olmayan her $U\subseteq X$ için sabit öndemetini $$\mathcal{F}(U)=A$$ olarak tanımlayalım ($\mathcal{F}(\emptyset)=0$). Eğer $V\subseteq U$ boş olmayan bir altkümeyse $$\rho^U_V:A\longrightarrow A$$ 'yi birim fonksiyon, diğer durumda da sıfır fonksiyonu olarak alalım. Bu öndemetin demet olmadığını gösterin ve demetleştirmesini bulun.

Comments

Bu Hartshorne'daki ilk alıştırmalardan birisi.

Answer 1

Eger $X$ baglantili olmayan bir acik altkume iceriyorsa ve $A$ birden fazla elemani olan bir grup ise $\mathcal{F}$ bir balya degildir: $U, V \neq \emptyset$, $X$'in kesisimleri bos olan iki acik altkumesi, $a \in A \setminus \{0\}$ olsun. Eger kesit olarak $U$ uzerinde $a$'yi ve $V$ uzerinde $0$'i secersek $U \cap V = \emptyset$ oldugundan $\rho_{U \cap V}^U(a) = 0 = \rho_{U \cap V}^V(0)$ oldugunu goruruz. Yani eger $\mathcal{F}$ bir balya olsaydi $\rho_U^{U \cup V} (a') = a$ ve $\rho_V^{U \cup V} (a') = 0$ esitliklerini saglayan bir (ve bir tek) $a' \in \mathcal{F}(U \cup V) = A$ bulabilecektik, ancak $\rho_U^{U \cup V} (a') = a' = \rho_V^{U \cup V} (a')$ oldugundan bu imkansizdir.

Bu durum, yani "farkli baglantili bilesenlerde tanimli fonksiyonlari bir araya toplayip bir fonksiyon yaratmak", basimiza dert olabilecek asagi yukari tek sey: $\overline{\mathcal{F}} \in \mathbf{PSh}_X$'i $U, V \subseteq X$ acik kumeleri icin $\overline{\mathcal{F}}(U)$, $U$'dan $A$'ya giden yerel olarak (yani $U$'daki her nokta icin o noktanin bir komsulugunda) sabit olan fonksiyonlar, $\rho_U^V$ bilindik kisitlama ve kesitler uzerindeki toplama islemi de noktasal (yani $(s+s')(x) = s(x) + s'(x)$) olacak bicimde tanimlayalim. O zaman $U = \emptyset$ icin $\overline{\mathcal{F}}(\emptyset) \cong \{0\}$ ve eger $U \neq \emptyset$, $X$'in acik ve baglantili bir altkumesiyse (baglantili uzaylar uzerindeki yerel olarak sabit olan fonksiyonlar sabit oldugundan) $\overline{\mathcal{F}}(U) \cong A$ olur, yani $\overline{\mathcal{F}}$ gercekten de $\mathcal{F}$'yi andiriyor. Ote yandan $\overline{\mathcal{F}}$ bir balyadir cunku bir surekli fonksiyon balyasina izomorftur: Bir $Y$ uzayindan bir $B$ kumesine giden yerel olarak sabit olan fonksiyonlar $Y$'den ayrik topolojiyle donatilmis $B$'ye giden surekli fonksiyonlar olarak gorulebilir. 

Gelelim $\overline{\mathcal{F}}$'nin $\mathcal{F}$'nin balyalastirmasi olduguna: $0$'i bos kumeden $A$'ya giden biricik fonksiyona ve $U \neq \emptyset$ icin $a \in \mathcal{F}(U)$'yi $U$'dan $A$'ya giden sabit $a$ fonksiyonuna gondererek (bunlarin kisitlamalarla uyumlu oldugunu kontrol ettikten sonra) $\mathcal{F}$'ten $\overline{\mathcal{F}}$'ye giden bir onbalya morfizmasi $\phi$ elde ederiz. Simdi bu $\phi$'nin saplarda ne yaptigina bakalim. $x \in X$ icin $\mathcal{F}_x$'i tanimlayan sistem sabit $A$ sistemi oldugundan $\mathcal{F}_x \cong A$ buluruz. Ote yandan her $U$ icin $s_U \in \overline{\mathcal{F}}(U)$'yi $s_U(x) \in A$'e goturen morfizmalar, kisitlama morfizmalariyla uyumludur; bu yuzden bize dogrudan limitin evrensel ozelligi sayesinde bir $\gamma_x : \overline{\mathcal{F}}_x \to A$ morfizmasi verir. Bu morfizma, her $a \in A$ bir sabit kesit tarafindan erisildiginden orten, $\gamma_x(s) = \gamma_x(s')$ oldugunda $s_U$ ve $s'_U$ sabit (ve dolayisiyla birbirine esit) olacak bicimde $x$'in bir $U$ komsulugu bulunabileceginden birebirdir. Yani $\overline{\mathcal{F}}$'nin ve $\mathcal{F}$'nin saplari (en azindan soyut olarak) izomorfturlar. Ayrica $\phi_x$, $a \in A$'ya denk gelen tohumu sabit $a$ fonksiyonuna denk gelen tohuma gonderdiginden $\phi$ gercekten de saplar uzerinde bir izomorfizmadir. Bu durumda $\mathcal{F}$'nin balyalastirmasi $\mathcal{F}^+$'nin evrensel ozelliginin verdigi $\overline{\mathcal{F}} \to \mathcal{F}^+$ morfizmasi saplar seviyesinde, dolayisiyla da bir balya morfizmasi olarak bir izomorfizmadir.