Çocukların yaşlarını
$$x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5$$
şeklinde ifade ederek başlayalım. Bu sayede küçükten büyüğe doğru da sıralanmış oldu.
$$\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5}{5} = x_3$$ olmalı.
$x_3$ aynı zamanda moda da eşit olmalı. Bu durumda $x_2$ ya da $x_4$'den en az biri kesinlikle $x_3$'e eşit olmalı.
Çocuklardan birinin yaşı $1$ arttığında mod değiştiğine göre, yaşı artan çocuğun yaşı $x_3$ olmalı. Mod da aynı kalacağı için:
$$x_1 , x_3 , x_3 , x_3 + 1, x_5$$ olmalı ki 3. çocuk bir yaş aldığında
$$x_1 , x_3 , x_3 + 1, x_3 + 1, x_5$$ olsun ve mod yine ortancaya eşit olsun, ama ikisi de değişmiş olsun.
Aynı zamanda $x_3 = x_5 - x_1$ olmalı. Yani $x_5 = x_1 + x_3$ olmalı.
Buna göre baştaki aritmetik ortalamayı yeniden hesapladığımızda
$$4x_3 + 2x_1 + 1 = 5x_3$$ olacaktır.
Bu denklemi düzenlersek $x_1$ ve $x_3$ arasında şöyle bir ilişki buluruz:
$$2x_1 + 1 = x_3$$
Yaşlar da artık
$x_1, x_3, x_3, x_3 +1, x_1 + x_3$
şeklindedir. (Çocuklardan biri bir yaş büyümeden önceki hali.)
$x_1$ en küçük çocuğun yaşıdır, $0$'dan büyüktür ve tam sayıdır. Bu sebeple en küçük $1$ olabilir.
$x_1 = 1$ için çocukların yaşları $1,3,3,4,4$ şeklinde olur ve bu durum modun tek grup olması koşulunu sağlamaz.
$x_1 = 2$ için çocukların yaşları $2,5,5,6,7$ olur. Bu yaşlar gerekli koşulları sağlamaktadır.
$x_1 = 3$ için çocukların yaşları $3,7,7,8,10$ olur. Ancak çocukların yaşları 0-9 arasında olarak belirtilmiş, en büyük çocuğun yaşı bu koşulu sağlamıyor.
$x_1$ için $3$'den büyük vereceğimiz her değer için üst yaş sınırı aşılır.
Bu sebeple istediğimiz koşulları sağlayan yaşlar $2,5,5,6,7$ (yaş artımı öncesi) ve $2,5,6,6,7$ (yaş artımı sonrası) şeklindedir.