Karenin alanin ispatı

Question

Karenin alan formulü bir aksiyom mu yoksa ispati var mi? Bir dik ucgenin alan formulunu dikdortgenin alanindan ispatlayabiliriz. Pisagor teoremini ispatlarkende kareyi moddeleyerek buluruz peki karenin alanin da bir ispati var mi yoksa kare denen seklin alani boyle olsun diye varsayilmis mi cunku dikdortgende en az 2 kareden olusan bir sekil ve dikdörtgenin ispati da buna dayaniyor

Comments

Ben (şu anki bilgilerimi de baza alırsam) bir alan inşası yapacak olsam kenarları 1 birim olan karenin alanını 1 birim kare olarak alırım. Bir noktada dikdörtgen alanını pozitif gerçel sayı çarpımına getiririm (ki aslında aklımda ilk buraya gelmek bile var olabilir). Buradan (istersem ya da farklı ve makul bir şekil seçecek olursam) üçgen alanlarına da (alan ekleme/birleştirme fikrini de katarak) yarısı(!?) olması gerektiğini söylerim. Daha belirgin olarak da integrale gelebilirim. Gelmesem de belli/güzel olan şekiller için, güzel bir yerde  (nasıl yerleştirdiğimden bağımsız) içine koyduğum toplam bilindik alan parçaların (ki burada baz dikdörtgen almak makul) alanından büyük ya da dışarıya tamamen taştıysam bu alandan küçük olması çıkarımını yapıp alttan ve üstten bu değeri sıkıştırabilirim.

Burada kişilerin/kaynakların nasıl (makul) bir inşada bulunduğu (ve kendilerince bu inşayı nasıl devam ettirdikleri) önemli? Temel olarak kare(~dikdörtgen) alanını kabul ettiklerini düşünüyorum ama üçgen ile başlasalar bi problem olur muydu, ya da altıgen ya da yedi? ya da bambaşka bir şey? ve bunlar farklı bir alan bakış açısı mı getirirdi yoksa benzer ve kolay işleri zora mı sokardı?

Answer 1

Kaynakça veremeyeceğim ama, bir ara alanın tanımı ve hacmin tanımı ile ilgili bir parça kafa yormuştum. 

 

Tanım: Birbirine dik iki kenarının uzunlukları $a, b$ olan bir dikdörtgenin alanı $ a\times b $ olarak tanımlanır.

 

Dolayısıyla bir kenarı $a$ olan karenin alanı da $a \times a = a^2$ olacaktır. Sonra üçgene ve diğer düzlemsel şekille geçmek istersek, şöyle bir aksiyoma daha ihtiyacımız olacaktır:

 

Aksiyom: Eş şekillerin alanları da eşittir.

 

Bu durumda, dikdörtgenin bir köşegenini çizerek iki eş dik üçgene ayırırız. Böylece şu teorem ispatlanır:

 

Teorem: Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.

 

Ama burada da bir boşluk bıraktım aslında. Çünkü, burada da bir aksiyom olabilir. Oluşan dik üçgenlerin arakesitinde bir alan oluşmamaktadır. Daha açık söylemek gerekirse, ayrık şekillerin alanlarının toplanması ile ilgili bir aksiyoma ihtiyacımız var.

 

Aksiyom: $A$ ve $B$ düzlemde ayrık iki geometrik şekil ise, $C= A \cup B$ olarak tanımlanan $C$ şekli için,

$$ Alan(C) = Alan(A) + Alan(B) $$

dir.

Bu aksiyomu kullanarak, yukarıdaki teoremi daha eksiksiz biçimde ispatlanmış oluruz. Ayrıca, tanımda geometrik şekillerin (noktalar kümesinin) iç bölgesine vurgu yapacak eklemeler yapılabilir. Böylece, dikdörtgende bir köşegen çizilince, dik üçgenlerin ortak hipotenüslerinin olması alanlar toplamı aksiyomunu kullanmamıza olumsuz etki etmemeli.

Yine şu teorem ispatlanabilir:

Teorem: $A$ ve $B$ düzlemde iki geometrik şekil ise

$$  Alan(A \cup B) = Alan(A) + Alan(B) - Alan(A\cap B) .$$

İspat: $A \cup B = (A-B) \cup (B-A) \cup (A\cap B)$ şeklinde üç ayrık kümenin birleşimi olarak yazılıp alanlar toplamı aksiyomu uygulanırsa ve $A= (A-B) \cup(A\cap B) $ eşitlikleri kullanılırsa istenen elde edilir.

 

Bu fikirlerle, $n$ kenarlı bir çokgenin alanı için $(n-2)$ tane üçgene ayırıp, çokgenin alanını bu üçgenlerin alanlarının toplamı olarak ifade edebiliriz. Sercan hocamın da yorumunda ifade ettiği gibi, çember gibi eğri şekiller için alt-üst toplam ve integral kavramı yardımıyla tamamlayabiliyoruz. Böylece düzlemde çokgensel bölgelerin ve eğrilerin sınırladığı alanlar hesaplanabiliyor. Sanıyorum bu tür alan ölçümü fikirlerini Jacobi ifade etmiştir. Jacobi'den çok daha öncesinde, antik Yunan'da da şekli çok küçük parçalara ayırma fikri vardı. Onların, sonsuz küçüklerle ilgili hiç bir sezgileri yoktu diyemeyiz. Nitekim, Archimedes çemberi çeşitli küçük dilimlere bölerek, üçgenlerin alanları yardımıyla, çemberin (sınırladığı) alanını yaklaşık olarak bulmuştur. $\pi$ nin yaklaşık değerlerini elde etmiştir. Antik dönemdekiler, yukarıdaki gördüğümüz aksiyomların her birini çok titiz yazmamış olabilirler, ama sezgileri ile bu aksiyomları başarılı biçimde kullanmışlar. Jacobi sonrasında, bu konu Jacobi'den daha farklı bir şekilde ele alınmış ve geliştirilmiş, alan hesabı-hacim hesabı konusu ölçüm teorisine bağlanmış diye biliyorum.