İki sayı arasındaki eşitsizliğin mutlak değer olarak gösterimi.

Question

Dostlar öncelikle herkese esenlikler dilerim.

Örnek veriyorum 14 ile 30 arasındaki herhangi bir sayıyı bir formülizasyon ile mutlak değerde göstermek istiyorum.

Youtubedan bir video izledim ancak mantığını kavrayamadım. Şöyle yapıyordu:

14 =< x =< 30 ise

(30+14) / 2 = 22 = Sayıların Ortası

30-22 = 8 ve 22-14 = 8 çıkıyor.

| x - 22 | =< 8

olarak mutlak değer cinsinden yazıyor.

Ama mantığını kavrayamıyorum.

Neden ortalamasını aldık?

x değişkeni nereden geldi?

Neden 8den küçük? 

Comments

merhaba ayato;

sana cesitli sorularim olacak:

1. $|x| \leq 2$  ozelligini saglayan butun reel sayilarin kumesini yazabilir misin ? Bunu sayi dogrusu ustunde gosterebilir misin ?
2. $|x|  +  1\leq 2$ ozelligini saglayan butun reel sayilarin kumesini yazabilir misin? Bunu sayi dogrusu uzerinde gosterebilir misin?

3. $|x+1|   \leq 2$ ozelligini saglayan butun reel sayilarin kumesini yazabilir misin? Bunu sayi dogrusu uzerinde gosterebilir misin?

4. 1. , 2. ve 3. sorunun cevaplari arasinda bir iliski gorebiliyor musun ?

---

Merhaba değerli dostum.

1. x için Çözüm Kümesi = [-2,2] yani -2 =< x =< 2, ama 0 =< |x| <= çünkü negatif bir sayının bile mutlak değeri pozitiftir.
2. Önceki önermeden yola çıkacak olursak -2 =< x =< 2 ise, x+1'in aralığı de -1 =< x+1 =<3 tür. Çözüm kümesi de [-1,3] tür.
3. Bu önerme de önceki önermelerden yola çıkarsak 2. önerme ile aynıdır. Çözüm Kümesi, [-1,3] tür.
4. 2. ve 3. arasında bir ilişki gördüm, bu ilişkiyi görmemin sebebi de x'e 1. önermeden bir aralık vermemiz. Mutlak değeri 2 den küçük bir sayı olan x en az -2 olabilir, Ama |x| değerinin sonucu ise, 0 ve 2 olabilir sadece.

---

3. Sorunun yanitindan emin misin ? $x = -2$ dersek, $| x + 1|$ ifadesinin sonucu $|-1| = 1 \leq 2$ oluyor

Answer 1

Ben mutlak değeri uzaklık olarak görüp öyle tanımlamayı daha yararlı buluyorum. Yani biri bana $|x-y|$ nedir diye sorsa, hesaplama falan yapmadan ilk vereceğim cevap $x$ ile $y$ arasındaki uzaklık derim. Mesela $|3-5|=2$ çünkü $3$ ile $5$ arası uzaklık $2$.

(Dikkat edersen $|a|=|a-0|$. Dolayısıyla yukarıdaki gibi tanımlayınca $|a|$ sayısının $a$'nın $0$'a uzaklığı olduğunu rahatlıkla görüyoruz).

Şimdi: "Bana $3$'e uzaklığı $1$ olan sayıları söyleyebilir misin? derse biri bana, ben bunu yukarıdaki dile şöyle çevirebilirim: $|x-3|=1$ eşitliğini sağlayan sayılar nelerdir.  Bu sadece küçük bir örnek.

Aynı şekilde "$3$'e uzaklığı en fazla $5$ olan sayılar nelerdir?" Sorusunu $|x-3|\leq5$ eşitsizliğini sağlayan sayılar nelerdir'e çevirebilirim. Bunlar gibi, iki dil arasında çeviri yapabileceğin başka durumlar da mevcut. Başka bir dil öğrenmek için pratik yapman gerekiyor tabii. O yüzden bu iki örnek gibi örnekleri kendin birkaç kez yap eğer ilk defa karşılaşıyorsan bunlarla.

Şimdi. Eğer ikinci örneğe geri dönecek olursak, bir reel sayı doğrusu çiz. $3$'e $5$ uzaklıkta olan iki sayı var $-2$ ve $8$. Ve $-2$ ile $8$ arasında kalan her sayı $3$'e daha da yakın. Başka deyişle $3$'e uzaklıkları $5$'ten küçük. Aynı şekilde bir sayı $-2$'den küçükse ya da $8$'den büyükse, $3$'e uzaklıkları $5$ birimden büyük. Bunu da "$|x-3|\leq 5$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $[-2,8]$ aralığıdır" diye çevirebiliriz.

Senin sorduğun soru bunun tam tersini yapmamızı istiyor bizden. Ama tersini anlamak için önce düzünü anlamak daha yararlı olabilir bazen. O yüzden yukarıdaki $|x-3|\leq 5$ eşitsizliğinde sayıları değiştirip 5-6 kere ya da iyice alışana kadar yaparım aynı soruyu ben olsam.

Şimdi $[-2,8]$ aralığını mutlak değerle yazalım. Öyle bir sayı istiyorum ki, atıyorum Ö sayısı, uç noktalar olan $-2$ ve $8$'e uzaklığı aynı olsun. Bu sayı $8$'den büyük olsa, yani sayı dogrusunda $8$'in sağında olsa, $8$'e $-2$'ye olduğundan daha yakın olur, olmaz. Aynı şekilde $-2$'nin solunda da olamaz. Demek ki arada bir yerde olacak. Uzaklığın iki uca da aynı olması için de TAM ortada olmamız gerekiyor. Başka bir deyişle $Ö$'nun $-2$ ve $8$'im ortalaması olması gerekiyor. Yani Ö = 3.

Şimdi aradığımız sayılar $3$'e uzaklığı $8$'in ve $-2$'nin $3$'e olan uzaklığından daha az olan sayılar. 8'in ve -2'nin 3'e olan uzaklığı 5 birim. Demek ki aradığımız sayılar 3'e uzaklığı en fazla 5 birim olan sayılar. Bunu da yeni öğrendiğimiz dile çevirince ne olacağını yukarıda gördük.

Comments

Çok teşekkür ederim hocam, çok açıklayıcı olmuş. Başarılar dilerim, esenlikler.

Answer 2

Temel olarak $$-8\le a \le 8 \ \ \ \iff \ \ \ |a|\le 8$$ olacağı bilgisini baza alalım.

 

Ortalama ile yaptığımız tam olarak uç değerleri eşit mesafeye koymak olacak.

Şimdi $14$ ile $30$un ortalaması $22$.

$a=x-22$ dersek $$\begin{align*}14\le x \le 30 \ \ \ &\iff \ \ \ -8\le x-22 \le 8 \\[12pt] &\iff \ \ \ -8\le a \le 8 \\[12pt] &\iff \ \ \ |a|\le 8 \\[12pt]  &\iff \ \ \ |x-22|\le 8\end{align*}$$ elde edelir.