Uzayda iki duzlemin birbirine göre açıları

Question

Merhaba. Ben bir makine teknikeriyim , dolayısı ile böyle üst düzey bilgilere pek aşina değilim ama çesitli formüller öğrenerek meslegimde ( cnc programlama) karşılaştığım sorunlara yeni çözümler üretmeye çalışıyorum.

Sorum şu ;

3 boyutlu bir koordinat sisteminde bulunan bir yüzeyin ( hiçbir eksene paralel olmaması şartı ile) 3 noktası bilindiği takdirde eksenlere olan açısını nasıl bulabirim acaba ? Bununla ilgili hangi formülleri kullanmali veya hangi konuları araştirmaliyım?

 

Veya 3 boyutlu koordinat sisteminde yine hiçbir eksene paralel olmayan bir cemberin z eksenindeki en üst noktasının orijine olan konumunu nasıl bulabilirim?

Comments

İkinci soruya cevap:

Uzayda çemberi belirtmek için merkezi, yarıçapı ve içinde bulunduğu düzlemi bilmek yeterli (veya verilenlerden bunlar bulunabilir).

Bunlar biliniyor varsayarak:

Düzlemin denkleminden, $y$ yi diğer $x$ ve $z$ cinsinden yazalım. Kürenin denkleminde bunu yerine yazarsak $z$ ve $x$ içeren (ikinci derece) bir denklem bulunur. Bu denklemden $z$ yi en büyük (veya en küçük) yapan değeri bulmak (denklemin yapısından dolayı) zor değildir. Geometrik olarak da bulunabilir: Çemberin merkezinden, o düzlemde, $z$ ekseni ile en küçük ve en büyük açı yapan yönlerde, yarıçap kadar giderek en yüksek ve en alçak noktalar bulunur.

Answer 1

Uzayda her duzlemin bir normal vektoru vardir. Bu vektor duzlem uzerindeki diger tum vektorlere diktir.

Simdi boyle diyince cok havali duyuluyor ama demek istedigim her duzlemin uzerine her zaman bir civi koyabiliriz ve duzlemin uzerine kalemle cizdigimiz her sey bu civiye dik olur. Iki vektore alip dik bir vektor veren operasyonun adi (ingilizcesono  biliyorum maalesef) cross product.
Duzlem uzerinde uc nokta $P$ , $Q$ ve $O$ alalim. Normal vektor $N$ i soyle hesaplayacagiz.
$P$ ve $Q$ noktasini $O$ noktasindan cikariyorum ki duzlem uzerinde yatan vektorler elde edelim. Daha sonra iki vektorun cross carpimini aliyorum
$N = (P - O) \times (Q - O)$
daha acik yazarsak
$\begin{align} N &= \begin{bmatrix} n_{x} \\ n_{y} \\  n_{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{x} - o_{x} \\ p_{y} - o_{y} \\  p_{z} - o_{z} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} q_{x} - o_{x} \\ q_{y} - o_{y} \\  q_{z} - o_{z} \end{bmatrix}\end{align} = \begin{bmatrix} (p_{y} - o_{y})(q_{z} - o_{z}) - (p_{z} - o_{z})(q_{y} - o_{y}) \\
-(p_{z} - o_{z})(q_{x} - o_{x}) + (p_{x} - o_{x})(q_{z} - o_{z}) \\
(p_{x} - o_{x})(q_{y} - o_{y}) - (p_{y} - o_{y})(q_{x} - o_{x}) \end{bmatrix} $
Ne olur ne olmaz bu $N$ i normalize edelim

$\hat{N} = \frac{1}{\sqrt{n_x^2 +n_y^2+n_z^2} }\begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\  n_z \end{bmatrix} $
Bu sayede $\hat{N}$ in boyu $1$ oldu
Tamam elimizde $N$ var ama bu bizim ne isimize yarayacak?
Her eksenin bir normal vektoru var, Bunlar $\begin{align} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\  0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\  0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\  1 \end{bmatrix} \end{align}$.

Vektorlerin skalar carpimini kullanarak vektorler arasindaki aciyi hesaplayabiliriz.
$a$ ve $b$ vektorlerinin skalar carpimi

$ a\cdot b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$  ile hesaplanir ama ayni zamanda
$ a\cdot b = \|a\| \|b\| \cos(\theta)$   burada $\theta$,  $a$ ile $b$ arasindaki aci. $\|a\|$ ise $a$ nin boyu.

Yani her seyi bir araya getirirsek
$yz$ duzlemi ile duzlem arasindaki aci = $ \arccos(\hat{N}_x)$

$xz$ ekseni ile duzlem arasindaki aci = $ \arccos(\hat{N}_y)$

$xy$ ekseni ile duzlem arasindaki aci = $ \arccos(\hat{N}_z)$

Comments

"cross product": vektör çarpımı