Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
428 kez görüntülendi
İki farklı $p,q$ asal sayıları için öyle iki $a,b$ pozitif tam sayıları vardır ki

$\frac{a}{p} + \frac{b}{q} + \frac{1}{pq} = 1$

eşitliği sağlanır, ispatlayınız.

Bu soruyu sorma sebebim bir Lisans 3. sınıf öğrencisi olarak Grup Teorisi çalışırken eşitliği fark edip yine Grup Teorisi ile ispatlamam fakat bu sorunun henüz görmediğim Sayılar Teorisi ile nasıl ispatlandığını merak etmemdir, teşekkür ederim
Lisans Matematik kategorisinde (54 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 428 kez görüntülendi
Güzel bir soru.

Asal olmaları şart değil.

$p,q>1$ ve $(p,q)=1$ (aralarında asal) olması yeterli. Biraz modüler aritmetik ile gösterilebiliyor.
EK: Aralarında asal değilse, böyle $a,b$ bulunamaz (kolay).
Eğer aralarında asal olmaları yetiyorsa çok daha iyi Doğan hocam,  benim eşitliği görmemi sağlayan şey $p,q$ iki farklı asal sayıları için $|G| = pq$ ve Abelyen olmayan bir $G$ grubunun sınıf denklemini arayışımdı. Bu özelliklere sahip $G$ grubunun merkezi $Z(G) = \{1_G\}, |Z(G)| = 1$  olur ve eşlenik sınıflarının eleman sayısı ya $p$ ya $q$ olduğundan $p$ elemana sahip eşlenik sınıf sayısına $a$ ve $q$ elemana sahip eşlenik sınıf sayısına $b$ dersek,

$pa + qb + 1 = pq$

eşitliğini sağlayan $a$ ve $b$ pozitif tam sayıları mevcuttur.

İlginç bir yol imiş. Ama,  bazı $p,q$ lar için $|G|=pq$ ise $G$ abelyen olmak zorunda (Sylow un Teoremlerinden)

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$x,y>1$ ve $ebob(x,y)=1$ (aralarında asal) doğal sayılar olsun.

$(x-1)y,\ldots, 2y,y$    ($x-1$ tane) doğal sayılarını düşünelim.

Bunların hiçbiri ($x,y$ aralarında asal olduğundan) $x$ e tam bölünmez.

Ayrıca herhangi ikisinin farkı da, aynı nedenle, $x$ e tam bölünmez.

Öyleyse bu sayılar, $\mod x$ birbirinden farklı ve tümü $\equiv\!\!\!\!\!\backslash\; 0\mod x$ dir.

Öyleyse, bunlardan (sadece) biri $\equiv1\mod x$ olur.

(Grup dilinde: $f:(\mathbb{Z}_x,+)\to (\mathbb{Z}_x,+),\quad f([n])=[yn]$ bir 1-1 homomorfizma ve  grup sonlu olduğu için izomorfizmadır. Aslında homomorfizma olması da önemli değil, $[0]\mapsto[0]$ olması yetiyor.)

$cy\equiv1\mod x$ olsun. $1\leq c<x$ olduğundan, $1\leq x-c<x$ olur.

$a=x-c$ ve $b={cy-1\over x}$ olsun. $a,b\in\mathbb{N}^+$ olur.

$bx=cy-1$ ve bunun sonucu olarak, $bx=(x-a)y-1=xy-ay-1$ ve düzenlenirse

$bx+ay+1=xy$ elde edilir. Her iki taraf $xy$ ye bölündüğünde, $\frac ax+\frac by+\frac1{xy}=1$ elde edilir. 

EK: $a$ ve $b$ nin biricik olduğu da, kolayca, gösterilebilir.

(6.2k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
İfadeyi $aq+bp+1=pq$ olarak düzenleyelim. Aralarında asallığı kullanabilmek için $$(p-a)q+(-b)p=1$$ olarak yazalım.

$(p,q)=1$ olsun.
$x$'yi $q$'nun mod $p$'deki tersi olarak tanımlayalım. ($1\le x <p$.)
Bu durumda bir negatif $y$ tam sayısı için $xq+yp=1$ sağlanır.

Bu durumda
$a=p-x$ ve $b=-y$
seçimini yapabiliriz.
(25.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
$a,b$ nin pozitifliğini garanti edebiliyor muyuz?
Ah, evet. O kısmı atlamışım.
Biraz dikkatsizlik ile aynı fikri farklı bir tarzda yazmış gibi oldum.
20,246 soru
21,768 cevap
73,412 yorum
2,124,967 kullanıcı