Dans Pistindeki Erkeklerin Sayısı

Question

Lise 1. Aşama için kolay-orta düzeyinde bir olasılık sorusu paylaşalım.

$\color{red}{\text{Problem [Lokman GÖKÇE]:}}$ Bir eğlence yerindeki her sandalyede bir davetli oturmaktadır. Müzik sesiyle beraber davetliler kalkıyor ve pistte dans ediyor. Müzik bitince davetliler eşit olasılıkla rastgele seçtikleri bir sandalyeye oturuyor. Sandalyeler birer kişiliktir ve ayakta kalan hiçbir davetli yoktur. Kadın davetlilerin danstan önceki sandalyelerine geri oturma olasılığı $\dfrac{1}{210}$ olduğuna göre, erkek davetlilerin sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Answer 1

$\color{red}{ \textbf{Çözüm:}} $ Davetteki erkek, kadın sayılarına sırasıyla $e, k$ diyelim. Olasılık $\dfrac{e!}{(e+k)!} = \dfrac{1}{210}$ olacaktır. $(e+k)! = 210\cdot e!$ yazılır.

$\color{red}\bullet$ $k=1$ durumunda $(e+1)! = 210\cdot e! \implies e+1 = 210$. Buradan $e=209$ bulunur.

$\color{red}\bullet$ $k=2$ durumunda $(e+2)! = 210\cdot e! \implies (e+2)(e+1) = 210 = 15\cdot 14$. Buradan $e=13$ bulunur.

$\color{red}\bullet$ $k=3$ durumunda $(e+3)! = 210\cdot e! \implies (e+3)(e+2)(e+1) = 210 = 7\cdot 6 \cdot 5$. Buradan $e=4$ bulunur.

$\color{red}\bullet$ $k \geq 4$ durumunda $ (e+4)(e+3)(e+2)(e+1) \mid 210 $ olması gerekir. Öte yandan ardışık dört pozitif tam sayıdan biri $4$ ün katı, biri de $4$ e bölünmeyen bir çift sayı olacağından $ 8\mid (e+4)(e+3)(e+2)(e+1)$ olmalıdır. Fakat $8 \nmid 210$ olduğundan, bu tür durumlardan bir çözüm gelmez.

 

Böylece $e\in \{ 4, 13, 209\}$ değerleri vardır ve istenen toplam $\boxed{226}$ olur.