Matematik felsefesi konusu ile ilgili pek bilgim yoktur ama matematikçi olma yönüyle bazı fikirlerimi paylaşabilirim.
Matematikte tümevarım (induction), dolaylı ispat yöntemlerinden biri olup geçerli bir yöntemdir. Sitedeki Tümevarım Nedir konusuna bakılabilir. Öğrencilik yıllarımda, "Acaba bu yöntemi fiziksel dünyamızda uygulayabilir miyiz?" sorusu aklıma gelmişti. Şöyle bir senaryo çizelim: Fikirsel bir tartışmaya gireceksiniz ve halk nazarında ilgi toplayacak bir tartışmada iddianızı ispatlamak istiyorsunuz. Tartışma konusu da, tartışma çıkarmaya uygun bir konu olsun. Örneğin "Tanrı var mıdır, yok mudur?" gibi bir birine zıt iki görüş üzerine olsun. Siz de kendinize uygun olan görüş hangisi ise, arkanıza matematiksel tümevarımı da alarak iddianızı ispatlayacaksınız. Günün sonunda siz taraftarlarınızın alkışlarını kazanırken, rakibiniz de boynunu büküp madara olmuş biçimde evine dönecek. Boru değil, sonuçta iddianızın ispatını koskoca matematiksel tümevarıma dayandırarak tartışmayı kazanıyorsunuz. Daha ne olsun, değil mi?
Senaryo çok havalı ama, bir sorun var. $n=1$ için iddiamı ispatlayabilirim belki, fakat önermenin $n=k$ iken doğru olduğu kabulünden hareket ederek $n=k+1$ için de doğru olduğunu kanıtlamak ... Fiziksel dünyada bu bana makul görünmüyor. Çünkü, bunu başarabilseydik sonsuz çoklukta $n$ için önermeyi ispatlamış olacaktır. Fakat fiziksel dünyamızda atomların sayısı bile çok fazla olsa da, yine de sonlu sayıdadır. Atomlarla, $\mathbb N$ doğal sayılar kümesi arasında bire bir eşleme kuracak olursak, bu eşleme örten olamaz. Halen $\mathbb N$ kümesinde boşta kalan eleman vardır. Dünyadaki atomlarımız az geldi dersek, evren için de aynı şey geçerli, çok büyük sayılar olsalar bile evrendeki atom sayısı sonsuz değildir. Eğer senaryodaki kanıtımız yapılabiliyor olsaydı, sonsuz tane durum ($n$ nin değerlerinin her biri) için kanıtlamış olurduk. Fakat $n$ nin alabileceği değerlerin kümesi, fiziksel dünyamızda/evrenimizde sonlu sayıdadır.
O halde, "felsefi-fikirsel bir tartışmada matematiksel tümevarım uygulanamaz" sonucuna ulaştım.
Biraz Daha Açıklama: Diyelim ki birisi, tüm atların siyah renkli olduğunu tümevarım ile kanıtlamak istiyor. İlk atı inceledi ve gerçekten siyah renklidir. $n=1$ için önerme doğrudur. Eğer $n=k$ için önermenin doğru olduğunu kabul edip, $n=k+1$ için de doğru olduğunu ispatlayabilirse(!), dünyadaki bütün atların siyah renkli olduğunu kanıtlamış olur. Aslında, sadece bununla da kalmaz, sonsuz çoklukta atın siyah renkli olduğunu ispatlamış olur. Çünkü matematiksel tümevarım prensibiyle tüm doğal sayı değerlerini taramış oluyoruz. Evrende sonsuz çoklukta atom olmadığı gibi dünyada sonsuz çoklukta at olmadığını da biliyoruz. O halde bir ispat yapıldığı düşünülüyorsa, ispatın tümevarım hipotezi ile başlayan basamağından itibaren bir yerlerde hata yapılmış olması gerekir. Diğer bir deyişle, matematiksel tümevarımı fiziksel dünyamızla ilgili bu tür problemlerde, tartışmalarda uygulayamayız.
Sorudan bağımsız olarak paylaşmak istedim: Peki, matematikçi olarak yukarıdaki türden hararetli konuların tartışmasının ortasında bulunmalı mıyız? Böyle bir misyonumuz var mı? O tür tartışmalara girmeyi seviyorsak uygun ortamlarda girilebilir ama matematikçi olmanın pek bir avantaj sağlayacağını düşünmüyorum. Tartışılan konunun felsefesi ile ilgili bilgimiz/fikrimiz varsa yine bunlar avantaj sağlayacaktır. Ama karşıt görüşteki kişi, görüşünü desteklemek için "matematik kuralları böyle emrediyor" diyerek izleyici kitleye bunu yedirebilir. Bu noktada, "matematik böyle bir çıkarım yapmıyor" diyerek yemediğinizi gösterebilirsiniz. Benzer şey, tartışmada "termodinamiğin 2. kuralı bunu emrediyor" diyen birine, fizik birikimi olan başka birisi "alakası yok arkadaşım, o konu şöyledir" diyebilir. Bu bakımdan bir konuda bilgi sahibi olmak avantajdır.
Uzun zaman önce bir matematik öğretmeniyle sohbetimizde, aşağıdaki gibi Pascal Üçgeni'ni çizip
$1$
$1 \quad 1$
$ 1 \quad 2 \quad 1$
$ 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 $
$\vdots$
"Her şeyi kuşatan $1$ var, buradan hareketle sınıfta bir tane olan yaratıcı fikrine giriş yapılabilir" anlamında bir söz açtı. O zaman bir yorum yapmamıştım ama ben şahsen kendimde böyle misyon görmedim/halen de görmem. Sınıfta böyle absürd bir şey anlatsam, bir öğrenci çıkıp "Bu kadar çok $1$ in olduğu bir tablo bizi çok tanrılı bir inanışa götürür, yaşasın Budizm!" sonucuna da varabilir. Öğrencinin temel beklentisi, öğretmenin/akademisyenin konusunu anlaşılır biçimde sunmasıdır.
Bir kişi bazı felsefi konularda tartışmalara girecek biçimde kendini yetiştirmiştir ve öte taraftan uzmanlık alanı olarak biyologdur/matematikçidir/teologdur/fizikçidir vs ... felsefi konulardaki birikimini uygun ortamlarda elbette sunabilir, örneğin TV ye çıkıp tartışmalarda kendi görüşlerini sonuna kadar savunabilir. Ben de kendi yaşam fikirlerimi uygun gördüğüm yerde bir arkadaşıma/eski bir öğrencime açabilirim, fikir alışverişinde bulunabilirim. Bunlar normal. Bence önemli olan kriter; hoca isek öğrencilerimiz gibi, amir isek altımızda bulunan memurlar gibi, direkt nüfuzumuz altında olan insanlar varsa, kendi yaşam-din-siyaset-felsefi görüşlerimizi aktarmamız onlar üzerinde baskı (bir tür mobbing) oluşturabilir. Bundan da uzak durmak gerekir.
Son olarak, analojik akıl yürütmenin kendisi her zaman sağlam sonuç vermez.
Analoji: iki şey arasındaki benzerliğe dayanarak birisi hakkında verilen bir hükmü diğeri hakkında da vermek şeklindeki akıl yürütme yoludur, biçiminde tanımlanıyor.
Örnek 1. Nadir bulunan şeyler değerlidir. Kör atlar da nadir bulunur. O halde kör atlar da değerlidir. Burada, nadir bulunma ortak özelliğine dayanarak yanlış bir çıkarımda bulunduk.
Örnek 2. $a, b$ birer doğal sayı iken $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$ dir. $x, y$ birer gerçel sayı olsun. $x, y$ ile $a, b$ arasında sayı olmaları yönüyle bir ortak özellik var. O zaman yine $\sqrt{x}\cdot \sqrt{y} = \sqrt{x\cdot y}$ olur, çıkarımında bulunmuş olalım. Bunun da yanlış bir çıkarım olduğunu biliyoruz.
Bu sebeple matematikte analojik akıl yürütme işlemez diye düşünüyorum. Benim de eksik olduğum matematik felsefesi konusu hakkında beni düzeltebilir veya tamamen yanlışlayabilirsiniz. İyi çalışmalar.