Merhaba bir sorum olacaktı kapalı kümelerin görüntülerinin de sınırlı ve kapalı olduğunu biliyoruz lakin kapalı kümelerin ters görüntüsü her zaman kapalı mıdır?

Question

Kapalı kümelerin ters görüntüsü her zaman kapalı mıdır?

Comments

$f(x)=\lfloor x\rfloor$ (tam değer fonksiyonu) ise $f^{-1}(\{0\})$ i bulabilir misin? ($\{0\}$ kapalı bir küme)

EK: Kapalı kümelerin görüntüsünün sınırlı ve kapalı olduğndan emin misin?(Sanırım önemli bir koşul var unuttuğun)

---

Kapalı(kompakt) kümelerin görüntüleri sınırlı ve kapalı olur bundan eminim aynı zamanda açık kümelerin ters görüntüsü de açık kümedir. Burada benim kafamı karıştıran husus kapalıların ters görüntüsü her zaman için kapalıdır diyebilir miyiz?

---

1. Kapalı $\neq$ Kompakt (Örnek: $[1,+\infty)$ aralığı kapalı ama kompakt değil.)

2. (Bir fonksiyon altında) Kompakt kümenin görüntüsü ne sınırlı ne de kapalı olmak zorunda değildir (bu, bir ekstra koşul altında doğru) Örnek : $f(x)=\begin{cases}\frac1x,&x\neq0,1\\-1,&x=0,x=1\end{cases}$ olsun.

$[0,1]$ kompakt kümesinin görüntüsü $\{-1\}\cup(1,+\infty)$ olup  ne kapalı ne de sınırlıdır. )

3. Kapalı bir kümenin ters görüntüsünün kapalı olmadığı bir durum örneği verdim, demek ki doğru değilmiş.

---

Teşekkür ederim, iyi günler dilerim