Question

f(x)=cosx fonk. x=0 noktasında en az kaçıncı dereceden taylor pol. için cos(0.2) nin yaklaşık değerinin hesaplanmasında hata 10^(-6) dan küçüktür?

Comments

Ben soruya ilk başladığım zaman taylor serisini açtım önce. n=0,1,2,3 olarak değer verip denemeyi ve bu derecelerde bulamazsam ilerlemeyi düşündüm. cosx in de aynı şekilde 3.mertebeden türevine kadar açtım ama x=0 almamız istendiği için n=0 da f(x0)=1 geliyor, daha sonra n e verdiğim bütün değerler için türevli kısımlar sıfırlamaz mı? Yani şunu demek istiyorum mesela n=1 için f(x0)+f'(x0)*(x-0) ya, burada f'(x0)*(x-0) şu kısım sıfırlamaz mı ve n e verebileceğim diğer değerler için de aynı şekilde. O zaman bütün sonuçlar 1 olacak şekilde çıkar? Bir yerde yanlış düşünüyorum veya bir hata yapıyorum ama neresi olduğunu kestiremedim.

---

Taylor serileri icin Lagrange Kalan Teoremini kullanmalisin..

https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem

---

$T_n(x)$ Taylor polinomu $f(x)$ fonksionunun $x=a$ noktasinda yaklasik degerini veren $n.$ dereceden polinom olsun.

$M$ sayisi $|f^{(n+1)}(t)|$ fonksiyonun $[a,x]$ araliginda (veya $[x,a]$ araliginda eger $x<a$ ise ) maksimum degeri ($f^{(n+1)}(t), f(t)$ fonksiyonun $n+1.$ turevi ) olmak uzere, yani

 

$M=\displaystyle\max_{a\le t\le x}\{f^{n+1}(t)\}$ olmak uzere,

$\text{Hata}=|f(x)-T_n(x)|\le \dfrac{ M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$   dir.

 

Eger Maclaurin serisi ise, yani $a=0$ ise:

 

$M=\displaystyle\max_{0\le t\le x}\{f^{n+1}(t)\}$ olmak uzere,

 $M$ sayisi $|f^{(n+1)}(t)|$ fonksiyonun $[0,x]$ araliginda (veya $[x,0]$ araliginda eger $x<0$ ise ) maksimum degeri ($f^{(n+1)}(t), f(t)$ fonksiyonun $n+1.$ turevi ) olmak uzere

$\text{Hata}=|f(x)-T_n(x)|\le \dfrac{ M}{(n+1)!}|x|^{n+1}$  dir.

---

Şundan da yararlanilabilir:

Yakınsak , mutlak değeri azalan, İsaret degişimli (alterne) serilerde, kısmı toplam ile toplam arasındaki fark,(hata)  bir sonraki terimin mutlak değerinden küçüktür.