Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

Soru:  Her i{1,2,,10} için x2ii(modp) olacak şekilde xi tam sayıları olmasını sağlayan en küçük p11 asal sayısı kaçtır?

 

Kanyak: Bilkent Ünv. Matematik Bölümü (şu anda) 2. sınıf öğrencisi olan Metin Can Aydemir'in sorusudur.

 

Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi
Bu tarz araştırmalar var, 60lara dayanıyor geneli. Ben de şu ara biraz bakıyordum.

Asallarla ilgilenmek yeterli. Burada da tablosu var: wiki

Ayrıca koşul p>2 olarak ya da p tek asal olarak değiştirilebilir. Bu durumlarda direkt cisimler gelecek ve içerisinde kare olmayan elemanlar olacak.
Soruyu tam anlamadim ama p=311 olabilir mi acaba?

x1=1,x2=66,x3=25,x4=2,x5=117,x6=95,x7=140,x8=132,x9=3,x10=53
Evet, sorunun yanıtı 311 dir Ökkeş hocam.
ClearAll["Global`*"]
n = 10;
var = Array[x, n];
eq = Thread[var^2 == Range@n];
FirstPosition[Length /@ Table[Solve[eq, var, Modulus -> Prime[p]], {p, 5, 100}], _? Positive] + 4 // First // Prime

p=311

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Yanıt 311.

Öncelikle x222(modp) denkliğine bakalım. Eğer uygun bir x2 tam sayısı varsa bu durumu Legendre sembolü ile (2p)=1 biçiminde yazarız.
(2p)=(1)p218
teoremine göre p=8k±1 şeklindedir. (k>0 bir tam sayı.)

Şimdi de x233(modp) denkliğine bakalım. Eğer uygun bir x3 tam sayısı varsa bu durumu Legendre sembolü ile (3p)=1 biçiminde yazarız. Quadratic Reciprocity (Karesel Mütekabiliyet) Teoremi ile

(3p)(p3)=(1)p12313=(1)p12

Eğer p=8k+1 biçiminde ise (3p)(p3)=(1)4k=1 olup (p3)=1 olmalıdır. Bu ise p=3n+1 (n>0 bir tam sayı) biçiminde olması ile mümkündür. Buna göre p=8k+1=3n+1 dir. O halde k=3m formundadır. p=24m+1 (m>0 bir tam sayı) biçimindedir.

Eğer p=8k1 biçiminde ise (3p)(p3)=(1)4k1=1 olup (p3)=1 olmalıdır. Bu ise p=3n1 (n>0 bir tam sayı) biçiminde olması ile mümkündür. Buna göre p=8k1=3n1 dir. O halde k=3m formundadır. Bu halde p=24m1 (m>0 bir tam sayı) biçimindedir.

p=24m±1 biçiminde olsun. (5p)=1 ise quadratic reciprocity teoremi gereği (5p)(p5)=(1)51224m+±112=1 olup (p5)=1 bulunur. Bu ise p=5t+1 veya p=5t+4 olması demektir. (t>0 bir tam sayı.) Böylece p=120a1, p=120a+1, p=120a+71  veya p=120a+49 (a>0 tam sayı) biçimindedir.


2,3,5 sayıları modp içinde birer kare kalan olduğundan bunların çarpımından elde edilen 6,8,10 sayıları da birer kare kalandır. (1,4,9 sayıları açıkça her modda kare kalandır.) O halde geriye incelememiz gereken 7 sayısı kaldı. 
(7p)=1
olmasını istiyoruz. Yine quadratic reciprocity teoremi ile (7p)(p7)=(1)712p12 yazılabilir. p=120a+1, p=120a+49 drumlarında (p7)=1 bulunur. p=120a1, p=120a+71 durumlarında ise (p7)=1 bulunur. 

Bu ise p=120a+1, p=120a+49 durumlarında p=7b+1, p=7b+2 veya p=7b+4 olması demektir. (b0 bir tam sayı.) Bu değerlerin her birini p=120a+1 ve p=120a+49 değerlerine eşitlersek
p=840c+1,840c+121,840c+361 ve p=840c+169,840c+289,840c+529 (c0 tam sayı) sayılarını elde ederiz. c=1 için 841=292,961=312,1201,1009,1129,1369=372 sayıları bulunur. Bunlar arasındaki en küçük asal sayı 1009 dur. (1129 ve 1201 de asaldır.)

Öte yandan p=120a1, p=120a+71 durumlarında p=7b+3, p=7b+5 veya p=7b+6 olması demektir. (b0 bir tam sayı.) Bu değerlerin her birini p=120a1 ve p=120a+71 değerlerine eşitlersek
p=840c+479,840c+719,840c1 ve p=840c+311,840c+551,840c+671 (c0 bir tam sayı) sayılarını elde ederiz. c=0 için 479,719,1,311,551=1929,671=1161 sayıları bulunur. Bunlar arasındaki en küçük asal sayı 311 dir. (479 ve 719 da asaldır.) c=1 vererek 311 den daha büyük asallar elde edilir.

O halde elde edilen tüm değerler arasındaki en küçük asal sayı çözüm 311 dir.

 


Notlar: 

1. p=120a1,120a+1,120a+49,120a+71 forumundaki asal sayılar küçükten büyüğe doğru incelenerek x277(modp) denkliğini sağlayan x7 tam sayılarının varlığı da araştırılarak 311 asal sayısına ulaşmayı deneyebilirdik. Fakat aranan en küçük asalın ilk başlarda karşımıza çıkacağından emin olamadığımız için deneme-yanılma çözümünün çok uzama riski de vardır. Bu sebeple yukarıdaki kesin sonuca götüren yöntemi tercih ettik. Böylece istenen özellikteki tüm asal sayıların p1,121,361,169,289,529,479,719,1,311,551(mod840) formunda olduğunu da kanıtlamış olduk.

 

2. x21111(mod479) denkliğinin çözüme sahip olduğunu quadratic reciprocity teoremi ile gösterebiliyoruz. x21212(mod479) için inceleme yapalım. 3 ve 4 kare kalan olduğundan 12=34 de bir kare kalandır. Böylece her i{1,2,,11,12} için x2ii(modp) olacak şekilde xi tam sayıları olmasını sağlayan en küçük asal sayı p=479 bulunur.

(2.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,315 soru
21,870 cevap
73,591 yorum
2,882,156 kullanıcı