Yanıt 311.
Öncelikle x22≡2(modp) denkliğine bakalım. Eğer uygun bir x2 tam sayısı varsa bu durumu Legendre sembolü ile (2p)=1 biçiminde yazarız.
(2p)=(−1)p2−18
teoremine göre p=8k±1 şeklindedir. (k>0 bir tam sayı.)
Şimdi de x23≡3(modp) denkliğine bakalım. Eğer uygun bir x3 tam sayısı varsa bu durumu Legendre sembolü ile (3p)=1 biçiminde yazarız. Quadratic Reciprocity (Karesel Mütekabiliyet) Teoremi ile
(3p)(p3)=(−1)p−123−13=(−1)p−12
Eğer p=8k+1 biçiminde ise (3p)(p3)=(−1)4k=1 olup (p3)=1 olmalıdır. Bu ise p=3n+1 (n>0 bir tam sayı) biçiminde olması ile mümkündür. Buna göre p=8k+1=3n+1 dir. O halde k=3m formundadır. p=24m+1 (m>0 bir tam sayı) biçimindedir.
Eğer p=8k−1 biçiminde ise (3p)(p3)=(−1)4k−1=−1 olup (p3)=−1 olmalıdır. Bu ise p=3n−1 (n>0 bir tam sayı) biçiminde olması ile mümkündür. Buna göre p=8k−1=3n−1 dir. O halde k=3m formundadır. Bu halde p=24m−1 (m>0 bir tam sayı) biçimindedir.
p=24m±1 biçiminde olsun. (5p)=1 ise quadratic reciprocity teoremi gereği (5p)(p5)=(−1)5−1224m+±1−12=1 olup (p5)=1 bulunur. Bu ise p=5t+1 veya p=5t+4 olması demektir. (t>0 bir tam sayı.) Böylece p=120a−1, p=120a+1, p=120a+71 veya p=120a+49 (a>0 tam sayı) biçimindedir.
2,3,5 sayıları modp içinde birer kare kalan olduğundan bunların çarpımından elde edilen 6,8,10 sayıları da birer kare kalandır. (1,4,9 sayıları açıkça her modda kare kalandır.) O halde geriye incelememiz gereken 7 sayısı kaldı.
(7p)=1
olmasını istiyoruz. Yine quadratic reciprocity teoremi ile (7p)(p7)=(−1)7−12p−12 yazılabilir. p=120a+1, p=120a+49 drumlarında (p7)=1 bulunur. p=120a−1, p=120a+71 durumlarında ise (p7)=−1 bulunur.
Bu ise p=120a+1, p=120a+49 durumlarında p=7b+1, p=7b+2 veya p=7b+4 olması demektir. (b≥0 bir tam sayı.) Bu değerlerin her birini p=120a+1 ve p=120a+49 değerlerine eşitlersek
p=840c+1,840c+121,840c+361 ve p=840c+169,840c+289,840c+529 (c≥0 tam sayı) sayılarını elde ederiz. c=1 için 841=292,961=312,1201,1009,1129,1369=372 sayıları bulunur. Bunlar arasındaki en küçük asal sayı 1009 dur. (1129 ve 1201 de asaldır.)
Öte yandan p=120a−1, p=120a+71 durumlarında p=7b+3, p=7b+5 veya p=7b+6 olması demektir. (b≥0 bir tam sayı.) Bu değerlerin her birini p=120a−1 ve p=120a+71 değerlerine eşitlersek
p=840c+479,840c+719,840c−1 ve p=840c+311,840c+551,840c+671 (c≥0 bir tam sayı) sayılarını elde ederiz. c=0 için 479,719,−1,311,551=19⋅29,671=11⋅61 sayıları bulunur. Bunlar arasındaki en küçük asal sayı 311 dir. (479 ve 719 da asaldır.) c=1 vererek 311 den daha büyük asallar elde edilir.
O halde elde edilen tüm değerler arasındaki en küçük asal sayı çözüm 311 dir.
Notlar:
1. p=120a−1,120a+1,120a+49,120a+71 forumundaki asal sayılar küçükten büyüğe doğru incelenerek x27≡7(modp) denkliğini sağlayan x7 tam sayılarının varlığı da araştırılarak 311 asal sayısına ulaşmayı deneyebilirdik. Fakat aranan en küçük asalın ilk başlarda karşımıza çıkacağından emin olamadığımız için deneme-yanılma çözümünün çok uzama riski de vardır. Bu sebeple yukarıdaki kesin sonuca götüren yöntemi tercih ettik. Böylece istenen özellikteki tüm asal sayıların p≡1,121,361,169,289,529,479,719,−1,311,551(mod840) formunda olduğunu da kanıtlamış olduk.
2. x211≡11(mod479) denkliğinin çözüme sahip olduğunu quadratic reciprocity teoremi ile gösterebiliyoruz. x212≡12(mod479) için inceleme yapalım. 3 ve 4 kare kalan olduğundan 12=3⋅4 de bir kare kalandır. Böylece her i∈{1,2,…,11,12} için x2i≡i(modp) olacak şekilde xi tam sayıları olmasını sağlayan en küçük asal sayı p=479 bulunur.