Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
395 kez görüntülendi
$$\displaystyle\int \cos(x^2)\mathrm{dx}$$ integralini çözünüz.
Lisans Matematik kategorisinde (129 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 395 kez görüntülendi
Cevabını 1-2 saat sonra ekleyeceğim.
$cos(x^2)$'nin taylor serisini yazarım sonra integralini alırım
Daha yaygın olarak "Elementer olmayan" deniyor.
@Dogan Donmez parantez içine ekliyorum hocam.
@sametoytun Doğru. İsterseniz ekleyebilirsiniz.
Fresnel integrali degil mi bu? Optikte kullandiydik
elementer (analitik olmayan ) 'ten kasıt nedir?
$ \int dx e^{x^2} $, $\int dx \sqrt{1-x^4}$, $\int dx sinc(x)$, $\int dx \frac{e^x}{x}$  vb. gibi anti turevleri sonlu miktarda toplama carpma, cikarma, bolme,logaritma exponensiyel ve trigonometrik islemler kullanilarak ifade edilemeyen integrallere deniyor sanirim
@eloi benim bildiğim de o tanımdır. Elementer Fonksiyon = Esas Elementer fonksiyonlardan sonlu sayıda aritmetik işlem ve bileşik fonksiyon oluşturma kurallarının uygulanması ile elde edilip, $y=f(x)$ eşitliği ile ifade edilebilen her fonksiyona denir.
@eloi dediğinize baktım "Fresnel" integraliymiş, haberim yoktu. Teşekkürler.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$$\displaystyle\large\cos(x)=\displaystyle\large\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}$$

$$\displaystyle\large\cos(x^2)=\displaystyle\large\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\dfrac{x^{4n}}{(2n)!}$$

$$\displaystyle\large\int \left( \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \dfrac{x^{4n}}{(2n)!}\right)\mathrm{dx}=\displaystyle\int \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{4n}\mathrm{dx}$$

$$\displaystyle\large \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^nx^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)} \hspace{1cm} \blacksquare .$$

 

Not: İntegral ve serinin yer değiştirmesi benim adıma bir typodur. Altına gelen yorumların bildirimini alamadığım ve soruya daha sonra geri dönmediğim için gözümden kaçmış. Özür diliyorum.(Eğer değiştiriliyorsa da haberim yok.)
(129 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Integral ile toplam neden yer değiştirebildi?
Fubini-Tonelli demek isterdim ama yeterince guclu degil galiba. Baskin yakinsaklik teoremi (dominated convergence theorem) gerekiyor olabilir
aynen o ikisi neden yer değiştirebildi?

Su soru da konuyla alakali diye birakiveriyim.

Orada limit ile integral yer değiştirmesi yok mu?
"Sonsuz toplam" derken kastettiğimiz şey sonlu toplamların limiti @sametoytun
19,507 soru
21,235 cevap
71,438 yorum
30,329 kullanıcı