Tam serilerin (exact sequences) verdigi bilgiler

Question

1) $M,N,S$ abel gruplari $A$-modul olsun. $$0\rightarrow M \rightarrow S \rightarrow N \rightarrow 0$$ kisa tam dizi olsun. (Short exact sequence).

O zaman $S=M\oplus N$ midir? (isomorf olarak). Hangi sartlar altinda isomorf olurlar?

2) $M,N,S,T$ abel gruplari $A$-modul olsun. $$0\rightarrow M \rightarrow S \rightarrow T \rightarrow N \rightarrow 0$$ tam dizi olsun. (Exact sequence).

Peki bu seriden de yukarikine benzer bir sonuc ya da sonuclar cikartabilir miyiz?

Ornek: Cebirsel sayilar teorisindeki birim integral sayilar  ve klas grubu ile verilen $1 \rightarrow \mathcal O_K^* \rightarrow K^* \rightarrow J_K \rightarrow \mathcal C_K\rightarrow 1$ tam dizisi dusunulebilir. (Burdaki gruplar carpimsal oldugundan toplamada kullandigimiz birim eleman $0$ yerine carpmanin birim eleman $1$ var).

Answer 1

Ikinci soruyu tam anlamadim ama birincisi icin

$$0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0$$

karsi ornek olarak gorulebilir.

Ilk fonksiyon 2'yle carpma fonksiyonu, ikinci fonksiyonsa izdusum. (Bunu oklarin uzerine nasil yazabilirim?)

Ekleme: Bunlari $\mathbb{Z}$-modul olarak aldim.

Comments

ornekte verdigim tam dizi ile $\mathcal O_K, \mathcal C_K$ hakkinda bir takim seyler soyleniyor, sebebi de dizinin tam olmasi.

---

Bilmiyorum ne kadar yararli olur simdi bunlar ama...

1. $$0 \to A \to B \to C \to 0$$ tam serisi olsun. $B \to C$ fonksiyonuna $f$ diyim. Eger $fg = id_C$ olacak sekilde bir $g:C \to B$ fonksiyonu bulabiliyorsam, o zaman buna "split exact sequence" deniyor. Aslinda "right split' deniyor tam olarak.

$ A \to B$ fonksiyonuna $h$ diyelim. Eger $jh = id_A$ olacak sekilde bir $j : B \to A$ fonksiyonu bulabiliyorsam o zaman da "left split" diyoruz.

Splitting Lemma diye bir sey var. Sunu soyluyor: Right split ile left split olmak birbirine esdeger. Ustune ustluk bu ikisi de senin istedigin seye esdeger. Yani, $B = A \oplus C$ olmasina.

2. Ote yandan, yine $0 \to A \to B\to C \to 0$ tam serisi olsun. Eger $C$ projektif bir modul ise, o zaman $B = A \oplus C$'dir.

3. Eger $A$ injektif bir modul ise, o zaman yine $B = A \oplus C$'dir.

Ne diyor tam olarak? Bunlar ise yarar mi?

---

Arkadas anlatti da dun. Cebirsel sayilar teorisi uzerine, dun soramadim vakit yoktu diye. Ogrenince buraya donus yaparim. Tesekkur ederim cevaplar icin de.