Geometride teoremlerin tersi her zaman doğru mudur?

Question

Geometride ispatlanmış bir önermenin tersi de her zaman doğru mudur? Örneğin derslerde pisagor teoremi anlatılır ve dik açılı üçgende, hipotenüsün karesinin diğer kenarların karesinin toplamı olduğu söylenir. Bir kenarın karesinin diğer kenarların karesinin toplamına eşit olduğu zaman bu üçgen dik üçgendir denilmez ama sorularda bu tersi durum geçerli olduğu zaman üçgen dik üçgendir diyerek soruyu çözeriz. Bunun gibi daha bir çok örnek gösterilebilir. Mesela en basit olarak ikizkenar üçgende taban açılar eşittir denir. Biz sorularda taban açılar eşitse bu üçgen ikizkenar üçgen diyerek çözümü yapıyoruz. Yine farklı olarak örneğin kirişler dörtgeninin karşılıklı açıları 180 derece olduğu ispatlanır. Fakat yine sorularda karşılıklı açılarının toplamı 180 derece olan bir dörtgen varsa kirişler dörtgenidir diyerek çember çizerek çözümü yapıyoruz.

Sonuç olarak, geometride önermeler karşılıklı olarak doğru mudur yani geometride ispatladığımız bir önermenin tersi durumunu ispatlamadan her zaman doğru olduğunu söyleyebilir miyiz? Örneğin şu çıkarımlarda bulunabilir miyiz: 1. durum gerçekleştiği zaman 2. durum gerçekleşiyor diyelim. O zaman  2. durum gerçekleşmişse 1. durum da gerçekleşmiştir. Ya da 1. ve 2. durum gerçekleştiği zaman 3. durum da gerçekleşiyor diyelim buna göre 1. ve 3. durum varsa 2. durum da vardır veya 2. ve 3. durum varsa 1. durum da vardır? Soru çözümlerinde genelde bu şekilde çözüme ulaşıyoruz.

Comments

Sorunun cevabı "hayır" ama güzel soru. Güzel de açıklamışsın. Aklıma gelen ilk örnek benzer üçgenler ile ilgili. "Iki üçgenin kenar uzunlukları aynı ise açıları da aynıdır" ifadesinin tersi doğru değil.

---

Teşekkür ederim hocam. Ama vermiş olduğunuz örnekte bir hata yok mu acaba? Çünkü önermenin aslı "iki üçgenin kenar uzunlukları orantılı ise açıları aynıdır" şeklinde değil midir? Bu şekilde tersine baktığımızda da "bir üçgenin açıları aynı ise kenar uzunlukları da orantılıdır" doğru olmuş oluyor.

---

O da bir teorem ama farklı bir teorem. Ozgur ün yazdığı teorem genel olarak KKK (eşlik) teoremi olarak bilinir.

---

Başka bir tane daha:

$E$ düzlemde bir dörtgen ve $a,b$ iki nokta olsun. Eğer $a$ ve $b$'den biri $E$'nin içinde biri dışında ise, $ab$ doğru parçası $E$'yi keser.

Bunun tersi doğru değil. $ab$ doğru parçası $E$'yi kesiyorsa, bu iki noktanın ikisi de $E$'nin içinde ya da ikisi de $E$'nin dışında olabilir.

---

Hocam teşekkür ederim örneğiniz için. Evet her önermenin tersi de kesinlikle doğru olmak durumunda değil bunu somut bir şekilde anlamış oldum. O zaman bize gösterilen ve soru çözümünde kullandığımız teorilerin tersi de geçerli olduğu için sorularda tersi de soruluyor. Hocam yani anladığım kadarıyla teoremlerin tersinin de geçerli olup olmadığını tek tek hepsinin tersini ispatlamadan, sorularda soruluyor ise tersi de geçerliymiş demek ki diyerek geçmek en sağlıklısı.

Bir de hocam sorduğum bu sorunun benzeri olarak aklıma takılan bir şey daha var. Örneğin bir çemberin merkezinden, çembere teğet olan doğrunun değme noktasına indirilen doğru diktir. Şimdi sorulardaki yöntem burdaki durumlardan herhangi birisi verilmiyor, biz tamamlıyoruz ve soru tamamladığımız parça yardımıyla çözülüyor. Yani diklik eksik oluyor biz dikliği yazıyoruz, merkez bilgisi eksik oluyor biz teğete dik olan doğrunun merkezden geçtiğini yazıyoruz veya doğrunun teğet olup olmadığı verilmiyor teğet olduğunu anlıyoruz ve sorular bu tamamladığımız parça yardımıyla çözülüyor. Böyle daha nice örnek var. Genel olarak soruların çözümü bu şekilde yapılıyor fakat derslerde bunların ispatı sadece tek bir yönden yapılıyor. Tek tek her durumun ispatı yapılmıyor. Bunun bir mantığı var mıdır acaba hocam? Tek tek ispatlamadan her durumu eksik olan parçayı tamamlayabiliyor muyuz yoksa yine bu durumlarda tamamlayabildiğimiz için mi bize soruluyor?