Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.4k kez görüntülendi

ve gG için a(g), g'ın Ω üzerindeki orbitlerinin sayısı olsun (orbit teriminin Türkçesini maalesef bilmiyorum). fG,Ω(x)=1|G|gGxa(g) değerinin tüm xZ+ için tamsayı olduğunu gösteriniz.

(G ve Ω sonlu kabul edilecektir.)

Herhalde 3-4 gündür uğraşıyorum, bir ipucu yakalayamadım.

Lisans Matematik kategorisinde (325 puan) tarafından  | 1.4k kez görüntülendi

Yazmış olduğunuz ifade Burnside teoremidir. 

Hocam Burnside teoremi toplam orbit sayısını saymak için kullanılan teorem değil mi? Yankış bilmiyorsam Cauchy-Frobenius teoremi olarak de geçiyor. Burada ben bir polinom alıyorum, orbitleri saymıyorum.

Haklısınız. Orbitlerin sayısı Burnside teoremi. Soruya bir daha bakayım. 

orbit = yorunge?

Sanırım öyle oluyor

Grup teorim berbata yakin, o nedenle sacma olabilir, maksat olacaksa yontem ya da bir yol olsun:

xΩ kumesine olan etkisine bakip standart orbit teoremini uygulayamaz miyiz? Tabi boyle bir kume olusturabilir miyiz? 

sonra g(a)xg(a) olur ise, ki muhtemelen olur gibi, soru cozulmus olur.

xΩ kümesinden kastettiğiniz nedir hocam?

xA={f:A{0,...,x1}} Bu da cevabi verir herhalde.

Hocam emin olmamakla birlikte dediğinizin çalışacağını sanmıyorum. Çünkü öyle olsa idi, polinomun tüm terimlerinin |G|'ye bölünmesi gerekirdi, ki bu doğru değil. 

Çünkü grubun içinde 1 elemanı var ve 1'ın küme üzerindeki orbit sayısı |Ω|. Fakat |G|'nin x|Ω|yı bölme zorunluluğu yok. 

(x=|Y|=t olmak üzere) 

https://en.wikipedia.org/wiki/P%C3%B3lya_enumeration_theorem

daki teoreme benziyor sorunuz.

Ek: Sercan da daha önce aynı şeyi söylemiş.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Sorunun cevabı az çok yorumlarda verilmiş. Doğan hocanın verdiği linkteki Polya'nın teoremin bir sonucu bu. Sercan yorumlarında vermiş çözümü aslında ama detaylı yazılmış olsun burada.

G bir sonlu grup, Ω da bir G-kümesi olsun. Eleman sayısı tZ+ olan bir küme alalım ve bu kümeyi Y ile gosterelim. Z=YΩ kümesi Ω'dan  Y'ye olan fonksiyonların kümesi olsun. Bu küme üzerinde G grubunun etkisi vardır. Bu etki (gf)(x)=f(g1x) şeklinde verilir. Şimdi Z üzerinde standard Burnside counting lemma uygularsak

|Z/G|=1|G|gG|Zg|

eşitliği bulunur. Burnside lemma icin referans şu:


Şimdi geriye sadece |Zg|'yi hesaplamak kalıyor. fZg ise f bir fonksiyon olarak bütün xΩ için f(gx)=f(x) eşitliğini sağlaması lazım. Yine aynı şekilde bu eşitliği sağlayanlar da Zg kümesinin elemanları olurlar. Yani Zg kümesi Ω/g dan Y ye fonksiyonların kümesine eşittir. Buradan |Zg|=|YΩ/g|=ta(g)eşitliği bulunur. Sonuç olarak 1|G|gGta(g) toplamı tüm pozitif t tam sayıları için tam sayıdır (|Y|=t olduğunda bu toplam |Z/G| tamsayısına eşit olacağı için).
(174 puan) tarafından 
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,675 kullanıcı