Parametrik eğrisinin uzunluğu

Question

$x = x(t) , y=y(t) (a \leq t \leq \ b )$ parametrik denklemleriyle verilmiş eğrinin uzunluğunun hesaplanmasını formülünü ifade ediniz  ve $x = cos t  ,  y= sint , (0\leq x \leq \pi/8)$ eğrisinin uzunluğunu hesaplayınız.

Comments

Kurallara uygun olarak yazarsanız çabucak cevap alırsınız. Matematiksel ifâdeleri iki adet dolar işareti arasına yazarsanız ve sin cos gibi operatörlerin başına \ işareti eklerseniz pi sayısı için \pi ve küçük ve büyük eşit için \leq ve \geq yazarsanız güzel olur.

---

yeniden düzenlendi.

---

Elinize sağlık! Cevap aşağıdadır.

Answer 1

Eğrimizin parametrik denklemi $c(t)=(x(t),y(t))$ olsun.Bu eğrinin yay uzunluğu $S=\int_{a}^{b}||c'(t)||dt$

ile verilir. $t$ parametresini ( x değil)  $0$ ile $\pi/8$  arasında verdiğinizi kabül ediyoruz.

$c(t)=(cost,sint)$ eğriniz için  $||c'(t)||=1$ olup eğri birim hızlıdır.O zaman

$S= \int_{0}^{\pi/8}dt=t|_{0}^{\pi/8}=\pi/8$ bulunur.

Comments

Arkadaş zaten o "ile verilir" dediğiniz formülün çıkarımını istiyor.

---

Formülü ifade edin deyince "kanıt" değil de formulün kendisini anlıyorum ben.

Answer 2

Eğrinin parametik denklemi $x=x(t), y=y(t), a\leq t\leq b$ olsun. İşe "uzunluk diferansiyel elemanı"nı oluşturarak başlayacağız. 

Düzlemde eğrinin $(x-x+dx, y-y+dy)$'lik kısmına yeterince odaklanalım. Bu parçayı dik kenarları $dx, dy$ olan diküçgenin hipotenüsü almak mümkündür. Bu parçanın uzunlupğu $ds$ olsun. O hâlde,

$$ds^2=dx^2+dy^2$$ Pisagor teoremi sağlanır. $dx=\dot x dt$ ve $dy=\dot y dy$ diferansiyelleri alınırsa, $$ds^2=(\dot x dt)^2+(\dot y dt)^2=(\dot x^2+\dot y^2)\,dt^2$$ elde edilir. İfâdenin karekökü alınırsa, $$ds=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\,dt$$ elde edilir. Bunu $[a,b]$ aralığında integre edersek, 

$$s(a,b)=\int_a^b\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}\,dt$$ bulunur.

Sizin sorunuzda $x(t)=\cos t, y(t)=\sin t, 0\leq t\leq \pi/8$ verilmiş. Küçük bir hesapla, $\dot x^2+\dot y^2=1$ olduğu görülür. Buradan integralin sonucu.  

$$s(0,\frac{\pi}{8})=\int_0^{\pi/8}1\cdot\,dt=\frac{\pi}{8}$$ buluruz.

Önemli noktalar: 

1-Verilen parametrik denklemler $(x(t), y(t))$, verilen aralıkta diferansiyellenebilir olmalıdır. 

2-Ayrıca, $\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$ integrand ifâdesi de verilen aralıkta integrallenebilir olmalıdır.  

Comments

Bu arada kanıtta verilen formül düzlemsel eğrilere ilaveten uzay eğrileri için de çalışır.

---

Haklısınız, $z(t)$ koordinatının ilâvesiyle...