Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
195 kez görüntülendi
Kare biciminde bir bilardo masasi olsun. Masa surtunmesiz olsun. Masanin ustune bir tane bilardo topu yerlestirelim. Topa oyle bir vurayim ki top asla basladigi noktaya gelmesin. Bu mumkun mudur?

 

Peki Bilardo masasi kare olmasaydi da baska bir duzgun poligon olsaydi ne olurdu ?
Akademik Matematik kategorisinde (504 puan) tarafından  | 195 kez görüntülendi

1 cevap

3 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Kareyi kordinat düzleminde birim kare $\{(x,y):0\leq x\leq1,\ 0\leq y\leq1\}$ olarak düşünebiliriz.

(Hareket sırasında, topun köşelere çarpmadığını varsayıyoruz)

Bu karenin $(a,b)$ koordinatlı herhangi bir noktasından bilardo topu herhangi bir yönde atılsın ve $n$ defa kenarlara çarpıp aynı noktaya geri gelsin. Bir  (ama konveks olmak zoruna değil) kırık çizgi şeklinde (kapalı) çizgi oluşur.

Kenara çarpınca yansımanın (ışığın yansımasındaolduğu gibi) şu özelliğini kullanacağız:

çarpmadan sonraki (bir sonraki kenara çarpmadan önceki) kısa bir yolu (çarptığı) kenara göre yansıtırsak bir doğru parçası oluşur.

Bunu kullanarak, son düz kenardan başlayıp çarptığı kenara göre (sadece son düz çizgiyi) yansıtarak, her defasında bir köşeyi "düzelterek" (çarpma sayısı kadar) bir doğru parçası oluşuralım. İlk düz parça aynı kalacaktır.

Doğru parçamızın bir ucu topun ilk bulunduğu nokta, diğer ucu ise bu noktanın $n$ defa (değişik doğrulara göre) yansımasından sonra ulaşacağı noktadır. Bu ucun koordinatlarına $(c,d)$ diyelim.

Yansımalar, $x=m$ vey $y=k$ ($m,k\in\mathbb{Z})$ doğrularına göre yapıldığı için 

$x=m$ doğrusuna göre yansımada, koordinatlar $x'=2m-x, y'=y$ şeklinde dönüşür.

$y=k$ doğrusuna göre yansımada, koordinatlar $x'=x, y'=2 k-y$ şeklinde dönüşür.

Ayrıca bu yansımalar, bu doğru ailelerini, yine aynı ailede başka bir doğruya dönüştürür.

Bu nedenle, doğru parçamızın "diğer" ($(c,d)$ koordinatlı) ucunun koordinatları $(a,b)$ ikilisine bu (farklı) dönüşümlerin $n$ kez uygulanması ile bulunacaktır.

Burada şunu görüyoruz:

$a,b\in\mathbb{Q}$ ise $c,d\in\mathbb{Q}$ (hatta, biraz daha fazlası doğru) olur.

Bu nedenle (eğer düşey değil ise) bu doğru parçasının eğimi rasyonel bir sayıdır.

Bu nedenle, bilardo topunun (EK: topun ilk konumunun koordinatları rasyonel iken) ilk hareket yönü irrasyonel  eğimli bir doğru ise, topun başlangıç noktasına dönmesi mümkün olamaz, çünki, ilk hareket, bu oluşturduğumuz doğru parçası ile aynı eğime sahiptir.

(Diğer, düzgün olmayanlar için bile, poligonlarda da bu mantığı genelleştirilebiliriz, ama orada durum biraz daha karmaşık. Çünki, yansımalarda katsayılar irrasyonel olabilir)

(5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Şu şekil biraz anlamaya yardımcı olabilir.

 

Irrasyonel egimle atilan bir topun yorungesini cizdirdim ben de.

Bu durumda, sanırım, yörünge karede yoğun oluyor.

Bu da bir soru olabilir.

Kapali yorungeler icin soyle bir gozlemim oldu. Eger egimim $\frac{p}{q}$ (en sade seklinde) ise top bir kenara $p$ defa diger kenara ise $q$ defa carpiyor. Bunu nasil ispatlariz?

Ornekler:

egim $= \frac{12}{5}$

egim $= \frac{12}{6}$

 

 

 

 

Doğan hocam haddim değil biliyorum ama bu sitede her soruda bir cevabınız var hocam bazen sizin cevaplarinizi okuyorum bişey anlamıyorum ama diyorumki doğan hoca çok zeki bı hoca diyorum keşke öğrenciniz olsam demekde geçmiyor değil içimden:)
18,741 soru
20,913 cevap
68,607 yorum
21,131 kullanıcı