Çevrel çember yarıçapı ile kenar uzunlukları doğal sayı olan üçgeni bulma

Question

Kenar uzunlukları doğal sayı olan bir üçgenin cevrel çemberinin yarıçapı  6,25 br ise bu üçgenin kenar uzunluklarını bulunuz.

Kenar uzunluklarını sinüs teoremi ile sınırladıktan sonra ne yapmamız gerekiyor.Alan bir tam sayı olsaydı cevaba ulaşabilirdim ancak bu haliyle ne yapmam gerektiği hakkında fikrim yok.

Comments

Merkezden yarı çaplar ile üç tane ikizkenar üçgen gelir; bunların eşit kenarları $6.25$. Buradan kosinüs teoremi ile toplamları $360^\circ$ olan açılar için eşitlikler elde ederiz. Üç kenarın tam sayı olması epey güçlü duruyor. Bu yolu denedin mi?

İşlemleri yapmadım ama buradan gelir gibi.

---

Hocam kenar uzunlukları (0,25/2] aralığında elimdeki kaynakta   abc/25=ur eşitliğinden hareketle  kenarlarının çarpımının 25'in katı olacağı söylenip bulduğumuz aralıkta uygun değerler seçilmiş.Fakat ur bir tam sayı olmayabilir yanılıyor muyum?

Answer 1

ABC üçgeninin kenar uzunlukları $|BC|=a,|AC|=b,|AB|=c$ olsun. Sinüs teoreminden $\frac{a}{sin\widehat {BAC}}=2R,\Rightarrow a=13sin \widehat{BAC}$ dir.

$13$ ün asal olduğu ve    $-1\leq sin\widehat {BAC}\leq1$ olduğu dikkate alınırsa $a=13$ olması gerekir.

Yani $|BC|=a=2R$ dir.  O halde $ABC$ hipotenüs uzunluğu $13$ br olan bir dik üçgendir.

Kenar uzunlukları birer pozitif tam sayı olduğundan $|AC|=b=5,|AB|=c=12$ birim olan ve $|AC|=b=12,|AB|=c=5$  birim olan iki üçgen vardır.

Comments

Hocam r=6,5 değil 6,25 olarak verilmiş.

---

Evet, verilen 6,25 olduğu halde 6,5 olarak almışım. Ama sanıyorum benzer bir yaklaşımla istenilen bulunabilir.