İlk bakışta seri açılımlarından hangisinin kullanılacağını öngörebilmenin zor olduğu bir soru ile karşı karşıyayız. Buna benzer toplamları rahatlıkla bulabilmek için seriyi toplamını bildiğimiz fonksiyon yapısı üzerine inşa etmeye çalışacağım. Öncelikle verilen serinin birkaç terimini yazalım ve nasıl bir davranışta olduğunu inceleyelim.
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{\pi^n}=0+\frac{1}{\pi}+\frac{2^2}{\pi^2}+\frac{3^2}{\pi^3}+\frac{4^2}{\pi^4}+\ldots$$
Seri açılımını yaptığımızda yukarıdaki gibi olduğunu görürüz.
Herkesin anlayabilmesi adına başlangıçta aşağıdaki $f(x)$ fonksiyonunu analiz ederek işe başlayacağım.
$$f(x)=1+x^1+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots +x^n$$
$n \in \mathbb{Z^+}$ olması durumunda $f(x)$'in daha genel bir ifadesini bulalım.
$$f(x)=1+x^1+x^2+x^3+x^4+x^5+\ldots +x^n$$
Bu ifadeyi $x$ ile çarparsak,
$$xf(x)=x^1+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+\ldots +x^{n+1}$$
elde edilir. Şimdi, ilk denklemden son bulduğumuz denklemi çıkaralım.
$$f(x)-xf(x)=1-x^{n+1} \implies f(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$
Bu durumda, $f(x)$ toplamının $n \in \mathbb{Z^{+}}$ için ne olduğunu bulmuş olduk.
Tam bu noktada $f(x)$'in $|x|<1$ şartı altında $n \to \infty$ giderken neye yakınsadığını bulacağım. Önemli olan bir husus $-1< x< 1$ aralığında olmasıdır.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1-\overbrace{x^{n+1}}^{\to 0}}{1-x} = \frac{1}{1-x}$$
Sonuç olarak, $f(x)$ fonksiyonu veya toplamı $|x|<1$ için aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
$$f(x)=1+x+x^2+x^3+\ldots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \quad , \quad |x|<1$$
Aslında bu yaptığımız işlem ilk başta ifade ettiğimiz $f(x)$ formundaki fonksiyonun Maclaurin (Colin Maclaurin) seri açılımıdır ve $|x|<1$ olduğu durumda yakınsaktır.
$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n =\frac{1}{1-x} \quad, \quad |x|<1 $$
Belirtilen aralıkta her iki tarafı $x$'e bağlı türevleyelim.
$$\sum_{n=0}^{\infty} nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2} \quad , \quad |x|<1$$
Şimdi de bu ifadeyi $x$ ile çarpalım.
$$\sum_{n=0}^{\infty} nx^{n}=\frac{x}{(1-x)^2} \quad , \quad |x|<1$$
Ve bir kez daha türevini alalım. (Türev alımındaki detaylara ihtiyaren yer vermedim.)
$$\sum_{n=0}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{1+x}{(1-x)^3} \quad , \quad|x|<1 $$
Son kez, her tarafı $x$ ile çarparsak
$$\sum_{n=0}^{\infty} n^2 x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} \quad , \quad |x|<1$$
ifadesini elde etmiş oluruz.
Buradaki en önemli husus $x$'in hangi aralıkta olduğudur. $|x|<1$ aralığında bulunduğu sürece yukarıda bulduğumuz değere tam olarak eşit olacaktır.
En nihayetinde bidayete rücu edip bizden istenen seri toplamını elde etmek için $x=\frac{1}{\pi}<1$ alınırsa,
$$\sum_{n=0}^{\infty} n^2 (\frac{1}{\pi})^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{\pi^n}=\frac{\frac{1}{\pi}(1+\frac{1}{\pi})}{(1-\frac{1}{\pi})^3} \quad , \quad |x|<1$$
elde edilmiş olur.
Sonuç olarak, cevabı istenen seri yakısak olup değeri aşağıdaki gibidir.
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{\pi^n} = \frac{\pi(1+\pi)}{(\pi-1)^3} \approx 1.3246... \quad \blacksquare $$