Gauss yasasını kullanarak elektrik alanını r’nin fonksiyonu olarak bulunuz.

Question

Küresel simetrik bir yük dağılımı  sabit olmak üzere =. yük yoğunluğuna sahiptir. Gauss yasasını kullanarak elektrik alanını r’nin fonksiyonu olarak bulunuz. (Not: r yarıçaplı dr kalınlıklı küresel bir tabakadan oluşan dV hacim elemanı 4r2dr’ye eşittir. )

Answer 1

Gauss Yasasınca,

$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{S}= Q_{iç} \dfrac{1}{\epsilon_0}$

yük yoğunluğu sabit olduğundan

$r<R$ için,

$Q_{iç} = Q \dfrac{r^3}{R^3} $ den

$ \vec{E} (\vec{r}) 4\pi r^2  = Q \dfrac{r^3}{R^3}\dfrac{1}{\epsilon_0}  $

den $r < R$ için

$ \vec{E}  = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}  Q \dfrac{r}{R^3}$ olur.

 

Aynı yasa uyarınca $r>R$ için,

 

$\vec{E} 4\pi r^2 = \dfrac{Q}{\epsilon_0}$

$\vec{E} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{Q}{r^2}$

sonucına ulaşılır.