Biraz daha geometrik çözüm:
Düzlemde Afin (x′=ax+by+c, y′=a′x+b′y+c′, ab′−a′b≠0 şeklindeki) dönüşümler koniklerin tipini değiştirmez.
x2+2xy−4y2+2y+k=(x+y)2−5y2+2y+k=(x+y)2−5(y−15)2+k+15 olur.
x′=x+y, y′=y−15 bir afin dönüşümdür.
Yeni denklem (x′)2−5(y′)2+(k+15)=0 olur.
k=−15 ise kesişen iki doğru, aksi halde bir hiperbol denklemidir.
Öyleyse, x2+2xy−4y2+2y+k=0 denklemi için de aynı şeyler geçerlidir.