Olasılığı nedir?

Question

Bugün havanın rüzgarlı olma olasılığı %40tır

Bugün oynanacak bir maçta golfçünün ;
Hava rüzgarlı ise topu atma olasılığı %30
Hava rüzgarlı değilse atma oranı %90

Bu golfçünün topu attığı bilindiğine göre havanın rüzgarlı olma olasılığı?

 

Ben 1/2 buldum ama doğru mu bilemedim?

Comments

1/2 yi nasıl buldunuz ?

---

Topun deliğe girme olasılığına $P(G)$, Havanın rüzgarlı olma olasılığı da $P(R)$ ise istenen $P(R/G)$  koşullu olasılığıdır.

Answer 1

$W$ bugün havanın rüzgarlı olma olayı olsun.

$A$ topu atma olayı olsun.

$\mathbb{P}(W)$ bugün havanın rüzgarlı olma olasılığını temsil etsin.

$\mathbb{P}(A|W)$ hava rüzgarlıyken topu atma olasılığını temsil etsin. 

Bizden istenen olasılık $\mathbb{P}(W|A)$'dır. Yani, $\mathbb{P}(W|A)$ topun atılması şartı altında havanın rüzgarlı olma olasılığıdır. Soruda verilen olasılık değerlerini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

$\mathbb{P}(W)=0.4 \quad \mathbb{P}(A|W)=0.3 \quad \mathbb{P}(A|\overline{W})=0.9$ Aynı şekilde, $\mathbb{P}(\overline{W})=0.6$ olduğu aşikardır. $\mathbb{P}(W)+ \mathbb{P}(\overline{W})=1$ olduğu için.

Bu noktada, $\mathbb{P}(W|A)$ için Bayes Teoremini ve şartlı olasılık eşitliklerini uygulayalım. 

$$\mathbb{P}(W|A)=\frac{\mathbb{P}(A|W) \mathbb{P}(W)}{\mathbb{P}(A)}$$ Soruda verilen olasılık değerlerini yerine yazdığmızda,

$$\mathbb{P}(W|A)=\frac{0.3 \times 0.4}{\mathbb{P}(A)}$$ olarak buluruz. Ama cevaba ulaşabilmemiz için $\mathbb{P}(A)$ değerini bulmamız gerekiyor. Bu değeri bulabilmek için $\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A \cap (W \cup \overline{W}))$ denkliğinden faydalanacağız. Özellikle de sağ taraftaki değere odaklanmalıyız. 

$$\mathbb{P}(A \cap (W \cup \overline{W}))=\mathbb{P}((A \cap W) \cup (A \cap \overline{W}))=\mathbb{P}(A \cap W)+\mathbb{P}(A \cap \overline{W})$$ olarak bulunur. Çünkü, $(A \cap W)$ ve $(A \cap \overline{W})$ olayları bağdaşmaz (ayrık) olaylardır. 

Şimdi bu kesişim kümelerinin şartlı olasılık cinsinden eşitlerini yazalım.

($\mathbb{P}(X|Y)=\frac{\mathbb{P}(X \cap Y)}{\mathbb{P}(Y)}$)

• $$\mathbb{P}(A \cap W)=\mathbb{P}(A|W)\mathbb{P}(W)$$
• $$\mathbb{P}(A \cap \overline{W})=\mathbb{P}(A|\overline{W})\mathbb{P}(\overline{W})$$

Sonuç olarak, $\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}(A|W)\mathbb{P}(W)+\mathbb{P}(A|\overline{W})\mathbb{P}(\overline{W})$ bulunur.

$$\mathbb{P}(W|A)=\frac{0.3 \times 0.4}{\underbrace{\mathbb{P}(A|W)}_{0.3} \times \underbrace{\mathbb{P}(W)}_{0.4}+\underbrace{\mathbb{P}(A|\overline{W})}_{0.9} \times \underbrace{\mathbb{P}(\overline{W})}_{0.6}}=\frac{0.3 \times 0.4}{0.3 \times 0.4 +0.9 \times 0.6}=\frac{0.12}{0.12+0.54}=\frac{0.12}{0.66}=\frac{2}{11}$$

Bu olasılık da yaklaşık $0.182$ değerindedir. (Tam değeri devirli olarak devam etmektedir.)

Comments

Açık ve güzel bir çözüm olmuş. Ellerinize sağlık.