denklemler

Question

$cos(x)=x$ denkleminin kaç çözümü vardır ve nelerdir ?

Comments

yalnizca bir koku vardir..analitik olarak cozmek imkansiz, ancak numerik olarak cozulebilir, bu aslinda fixed point sorusudur bi nevi..

---

Valla mumerik analiz bilmiyorm yükseklisans fln yapmadım  sayısal analiz gördüm ama unuttm birde  fixed ne bilmem ben aklıma geldi yazdm ne işe yarar onuda bilmem :)

---

kategori lisans olmali.

Answer 1

Sanırım yalnız bir çözümü var. Çözüm kümesini  y = cos x  ve  y = x fonksiyonlarının kesim noktası olarak düşünebilirsiniz. Bu iki fonksiyonun grafiğini çizin ve kesim noktalarını sayın.

Comments

Bu bir cozum olmuyor. Aslinda oluyor da grafik cizmekten kasit da onemli.

Answer 2

1) $-1 \leq x \leq 1$ olmali. Sebep olarak: $x=\cos x$'i cozmeye calisiyoruz.
2) $f(x)=x-\cos x$ ise $f'(x)=1-sinx>0$. (Burda 1'deki aralik arasina bakmamiz yeterli.) Yani fonksiyon keskin artan.
3)$f(0)<0$ ve $f(\pi/2)>0$. Ara deger teoremi. 

Okuyucuya Soru: 3'te 1'de verdigim araligin disina ciktim. Bu bir sorun teskil eder mi?

Comments

3. bilgiye $f$'in surekli oldugu da eklenmeli.

---

Aradeğer teoremine göre sorun teşkil eder

---

Etmez, cunku $[-1,1]$ arasindaki cozumunu degil, $\mathbb R$'deki cozumunu ariyoruz. $f(0)f(1)<0$ da diyebilirdik, cunku biliyoruz ki kok varsa mutlaka $1$'den kucuk olmali. Burda $f(1)>0$ demek kolay, lakin baska sorularda olmayabilir.

Answer 3

f(x) = cosx - x olsun. f(x) = 0 denkleminin kök(lerini)ünü bulmak için nümerik analiz yöntemleri kullanılabilir. y = cos x ve  y = x fonksiyonlarının grafikleri birlikte çizildiğinde arana kökün (0,1) aralığında olduğu görülür.Gerçekten  f(0) = 1 > 0  ve f(1) = cos 1- 1 < 0 olduğundan  f fonksiyonunun (0,1) aralığında bir kökü mevcut olmalıdır. Şimdi f nin (0,1/2)  ve (1/2,1) aralığında kökünün mevcut olup olmadığına bakmak gerekir. Bu şekilde devam edilirse  (1/2,1) aralığında f fonksiyonu işaret değiştirdiğinden kökün bu aralıkta olması gerekir. Sonra bu aralığı (1/2,3/4) ve (3/4,1) olacak şekilde iki eşit aralığa bölüp kökün hangisine düştüğünü bulmaya çalışın. Bu yöntemle köke istediğiniz kadar yaklaşabilirsiniz. Bu arada x değişkenin radyan olarak değerlendiriyoruz.

Comments

En az bir tane var dediniz. Peki bir tane kok olmak zorunda mi?

---

f(x) = x- cosx olarak tanımladığınız fonksiyonunun eksi sonsuz ve artı sonsuzdaki limitleri sırasıyla eksi ve artı sonsuz olduğundan en az bir tane kök olmak zorunda. Bu arada orta öğretimde bu soruları nerde soruyorlar?

---

Evet o gosterilmis. Demek istedigim belki baska koku de vardir, fakat cevap en az bir kok var diyor sadece.

---

Sorulmasi lazim aslinda ama ortaogretim degil tabiki de.

---

Aslında 2) deki türev fonksiyonu için  $ f'\ge0 $ yazmak daha uygun olur. Çünkü $ sinx=1$ eşitliğinin bir çözümü vardır. $f$ nin eksi ve artı sonsuz arasında değer alması ve $ f'\ge0 $ eşitsizliği tek bir kökü kanıtlıyor.

---

$-1\leq x \leq 1$ icin "$>$" yeterli. Esitlik bazen dert acabilir. Aslinda sadece kokun civarinda sifira esit olmasa yeterli fakat bunu bir de yazarak anlatmasi var.