Ters trigonometrik fonksiyonların türevi

Question

$$f(x)=\text{arcsec} x$$ kuralı ile verilen $$f:[1,\infty)\to \left[0,\frac{\pi}{2}\right)$$ fonksiyonu ile $$g(x)=\text{arcsec} x$$ kuralı ile verilen $$g:( -\infty,-1]\to \left(\frac{\pi}{2},\pi\right]$$ fonksiyonunun ayrı ayrı türev fonksiyonunu bulunuz.

Answer 1

Önce $f:[1,\infty) \rightarrow [0,\frac{\pi}{2})$ ,$f(x)=arcsecx$ fonksiyonunun türevini bulalım.

 Verilenden $1\leq x<\infty$  ve  $0\leq f(x)<\frac{\pi}{2} $   olduğunu biliyoruz.

$f(x)=arcsecx\Rightarrow x=secf(x)=\frac{1}{cosf(x)}$  ve $cosf(x)=\frac 1x$ dir. Her iki tarafın türevini alırsak,

$-f'(x)sinf(x)=-\frac{1}{x^2}\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x^2.sinf(x)}..............(*)$ olur.

Öte yandan $sin^2f(x)+cos^2f(x)=1\Rightarrow sin^2f(x)=1-cos^2f(x)=1-\frac{1}{x^2}$  den 

$sinf(x)=\pm\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}$ elde edilir. $0\leq f(x)<\frac{\pi}{2} $ olduğu ve bu değerler için $sinf(x)>0$ olduğu  $(*)$ da kullanılırsa istenen türev; 

$ f'(x)=\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ olur. 

Benzer düşünüşle $g'(x)=\frac{1}{-x.\sqrt{x^2-1}}$ olacaktır. Bu ikisi birleştirilerek 

$f:(-\infty,-1]\cup[1,\infty)\rightarrow (0,\pi)$ olmak üzere $f(x)=arcsecx$ olarak tanımlı fonksiyonun  türevi olarak

$f'(x)=\frac{1}{|x|.\sqrt{x^2-1}}$ alınabilir.