Yardım eder misiniz?

Question

cevap B

Comments

Siz neler düşündünüz/denediniz sayın İlaydaa.

---

Sadece benzerlik yapmaya çalıştım 

---

Hangi üçgenlerin benzerliğini kullandın ve ne oldu? İşlemlerini yaz bakalım.

---

BAC açısını 90 derece buldum ACB ve BDA açısına 2a,(B ve D yi birleştirdim) BAD ve BCD açısına da 3a dedim. Benzerlik ten gitmeye çalıştım ama üçgenleri göremedim 

Answer 1

Soruda verilen şekil zerinden çözümü anlatacağım. $B$ ile $D$ noktalarını birleştirelim. 

Eğer $m(BD)=6\alpha$ olarak alınırsa  $m(AD)=4\alpha$ olur. Aynı yayı gören çevre açı ölçüleri eşit olacağından, $m(ADB)=m(ACB)=2\alpha,\quad$ $m(DBC)=m(DAC)=90-3\alpha$       ve ters açılar olarak     $m(BED)=m(AEC)=90+\alpha$  olacaklardır.  

$AEC$ ile $BED$ üçgenlerinin benzerliğinden:  $\frac{|BD|}{3\sqrt3}=\frac{|ED|}{2\sqrt3}\Rightarrow  \frac{|ED|}{|BD|}=\frac 23..........(1)$  olur. Öte yandan $BDE$ üçgeninde sinüs teoreminden

$\frac{|ED|}{sin(90-3\alpha)}=\frac{|BD|}{sin(90+\alpha)}\Rightarrow \frac{|ED|}{|BD|}=\frac{sin(90-3\alpha)}{sin(90+\alpha)}..........(2)$ dir.    $(1)$ ile $(2)$ nin eşitliğinden;

$\frac{sin(90-3\alpha)}{sin(90+\alpha)}=\frac 23\Rightarrow 2sin(90+\alpha)=3sin(90-3\alpha)$

$2cos\alpha =3cos3\alpha$

$2cos\alpha=3(4cos^3\alpha-3cos\alpha)$

$12cos^3\alpha-11cos\alpha=0\Rightarrow cos\alpha(12cos^2\alpha-11)=0$ buradan

$cos\alpha=0,\quad  \alpha=\frac{\pi}{2}+\pi.k(k\in Z)$  ki bu olamaz.

$cos^2\alpha=\frac{11}{12}$  ve $sin\alpha= \pm\frac{1}{2\sqrt{3}}.........(3)$ olur. 

 Diğer taraftan $AEC$ üçgeninde yine sinüs teoreminden;

$\frac{x}{sin2\alpha}=\frac{2\sqrt3}{sin(90-3\alpha)}\Rightarrow x=\frac{2\sqrt3.sin(2\alpha)}{sin(90-3\alpha)}$  ve 

$x=\frac{2\sqrt3.2sin\alpha.cos\alpha}{cos3\alpha}=\frac{2\sqrt3.2.sin\alpha.cos\alpha}{4cos^3\alpha-3cos\alpha}=\frac{4.\sqrt3.sin\alpha}{4cos^2\alpha-3}$  bu son ifadede $(3)$ deki değerler yazılırsa $x=\frac{4\sqrt3.\frac{1}{2\sqrt3}}{4.\frac{11}{12}-3}=3$ birim olarak bulunur.

Bu sorunun sanıyorum daha kısa ve güzel çözümü vardır.

Comments

Teşekkür ederim. 

---

AEC üçgeninde sinüs teoreminden de cos ACE değeri bulunabilir. Fakat kısa ve geometrik çözüm göremedim. 

---

$cos(x+ y)=cosx.cosy- sinx.siny$     olduğunu biliyorsunuz. $x$ yerine $y$ yazarsak  ve  $sin^2x+cos^2x=1$  eşitliğini de kullanırsak,

$cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2-1=1-2sin^2x$ olur.  

$cos(3x)=cos(2x+x)=cos2x.cosx-sin2x.sinx$

$cos3x=(2cos^2x-1).cosx-(2sinx.cosx).sinx$

$cos3x=2cos^3x-cosx-2sin^2x.cosx$

$cos3x=2cos^2x-cosx-2(1-cos^2x).cosx$

$cos3x=4cos^3x-3cosx$ olur.