Türev tanımı bir fonksiyonun anlık değişim hızıdır, yani ivmesidir. Biz kürenin hacmini r'ye bağlı bir fonksiyon olarak tanımlarsak, yani, f(r)=4/3πr³ gibi bir fonksiyon tanımlarsak ve türevini alırsak, sonuç f'(r)=4πr² denklemini elde ediyorum ki bu da bize bir kürenin yüzey alanını veriyor. Küre için bu kadar tanımlasam da küp için de bunu elde edebiliyoruz. Mesela ayrıtı x olan bir küp için hacim f(x)=x³ iken f'(x)=3x² oluyor. Bu da bize aynı küp için yüzey alanının yarısını veriyor. f''(x)=6x yani ayrït uzunlukları toplamının yarısı. Buradan hareketle boyut değişimleri hakkında yorum yapılabilir mi? Bunun sebebi ve sonuçları nelerdir? Veya Einstein'ın uzay-zaman olarak bahsettiği 4. Boyut için denklemler integral ile yazılabilir mi? Bu her cisim için geçerlidir diyebilir miyiz? Yardımcı olabilecek birisi varsa çok memnun olurum.
Kürenin hacmi formülünde, değişken olarak kürenin bir kenarını uzunluğunu değil de (küredekine benzer şekilde) merkezden bir yüze uzaklık (kenarın yarısı) alırsak, türevi kürenin yüzey alanın verecektir.
$V(x)=(2x)^3,\ V'(x)=24x^2=6\times(2x)^2$
Sanırım küp için bunu öneriyorsunuz. Bunun olmasının sebebini merak ediyorum.